Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть X

 

 

Завершающая часть цикла посвящена методам построения пандиагональных квадратов 19 – 20 порядков. Для данных порядков существуют и классические, и нетрадиционные пандиагональные квадраты, а также идеальные квадраты. Для порядка 20 существуют ещё совершенные квадраты, как классические, так и нетрадиционные.

Построить классические пандиагональные и идеальные квадраты порядка 19 очень просто, поэтому не буду останавливаться на методах построения таких квадратов. Вы можете найти эти методы в моих ранних статьях, например, метод латинских квадратов, метод качелей, использование обратимых квадратов.

 

Сразу переходим к нетрадиционным пандиагональным квадратам. Построить такие квадраты из произвольных натуральных чисел тоже очень просто. Например, используя арифметические прогрессии длины 19. Читатели уже знают, как строить пандиагональные и идеальные квадраты из арифметических прогрессий.

Можно также использовать метод Россера с применением примитивного квадрата. Построить примитивный квадрат из произвольных натуральных чисел не составляет никакого труда. Числа первой строки и первого столбца примитивного квадрата выбираются произвольно. Конечно, при произвольном выборе этих чисел в квадрате могут оказаться одинаковые числа, но это не важно, главное показать, как работает данный метод. На рис. 1 вы видите примитивный квадрат 19-го порядка, составленный из произвольных натуральных чисел.

 

 

Рис. 1. Примитивный квадрат 19-го порядка из произвольных натуральных чисел

 

В квадрате получилось много одинаковых чисел. Если строить примитивный квадрат по программе, очень легко избежать повторения чисел.

Теперь осталось применить к примитивному квадрату преобразование Россера:

 

A(i,j) = B(3i+j, 2i+j),

 

где A(i,j) – элементы примитивного квадрата, B(3i+2j,2i+j) – соответствующие элементы пандиагонального квадрата. Индексы берутся по модулю 19.

 

Получим такой пандиагональный квадрат (рис. 2):

 

 

Рис. 2. Пандиагональный квадрат 19-го порядка из произвольных натуральных чисел (метод Россера)

 

А вот построить примитивный квадрат 19-го порядка из различных простых чисел (и тем более из чисел Смита) весьма сложно. Мне удалось решить эту задачу только для порядков 11 и 13. Для порядка 17 даже и не пыталась. Можно пробовать алгоритм смешанного достраивания, с помощью которого я нашла примитивные квадраты 11 и 13 порядков. Можно подождать, когда будет найден пандиагональный квадрат 17-го порядка, тогда (если этот квадрат будет построен с применением примитивного квадрата!) попытаться выполнить чистое достраивание двух строк и двух столбцов до примитивного квадрата 19-го порядка.

Кстати, процедуру чистого достраивания примитивного квадрата очень хорошо описал В. Павловский на форуме dxdy.ru (см. [2]).

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 20-го ПОРЯДКА

 

 Не буду останавливаться на методах построения классических квадратов. Этих методов довольно много: метод латинских квадратов, метод составных квадратов, метод качелей, использование обратимых квадратов, применение преобразования 3-х квадратов к ассоциативным квадратам, наконец, два метода Россера: теорема 5.6, случай 2, работает для любого порядка n = 4m, m ≥ 2; теорема 5.5, случай 2, работает для любого порядка n = 4m (см. [1]). Методы Россера были показаны на примерах построения классических пандиагональных квадратов порядков 8 и 12. Читатели могут самостоятельно применить эти метода для построения классических пандиагональных квадратов 20-го порядка.

Покажу только один пример – классический совершенный квадрат, построенный разработанным мной методом качелей (рис. 3):

 

 

Рис. 3. Классический совершенный квадрат 20-го порядка (метод качелей)

 

Построить нетрадиционные пандиагональные квадраты из произвольных натуральных чисел тоже просто. Покажу здесь метод составных квадратов, причём возьмём нетрадиционные пандиагональные квадраты и в качестве основного, и в качестве базового квадрата. Раньше я показывала этот метод только для случая, когда в качестве базового квадрата брался классический магический квадрат. Итак, на рис. 4 – 5 вы видите: базовый пандиагональный квадрат 4-го порядка и основной пандиагональный квадрат 5-го порядка. Оба квадрата составлены из простых чисел, но можно взять эти квадраты из произвольных натуральных чисел.

 

 

Рис. 4

 

 

Рис. 5

 

На рис. 6 изображён пандиагональный квадрат 20-го порядка, построенный методом составных квадратов. Множитель в формуле выбран равный 2 (можно брать любой натуральный множитель).

 

 

Рис. 6. Составной пандиагональный квадрат 20-го порядка из произвольных натуральных чисел

 

В квадрате тоже есть одинаковые числа, это произошло от произвольного выбора вспомогательных квадратов и множителя в формуле для построения составного квадрата. Если всё делать по программе, повторений чисел легко избежать.

Можно в качестве базового квадрат взять квадрат 5-го порядка, а в качестве основного – квадрат 4-го порядка.

К сожалению, этот метод не работает для построения пандиагональных квадратов из простых чисел или из чисел Смита.

 

Построить пандиагональный квадрат 20-го порядка из простых чисел или из чисел Смита можно по методу решёток Россера. Для этого надо найти 16 пандиагональных квадратов 5-го порядка с одинаковой магической константой, составленных из различных чисел, или 25 пандиагональных квадратов 4-го порядка, или 4 пандиагональных квадрата 10-го порядка с такими же свойствами. Затем заполнить этими квадратами матрицу 20х20, размещая их по решёткам Россера.

Нужных квадратов 4-го и 5-го порядка мне найти не удалось, квадраты 10-го порядка я не искала.

Поэтому покажу построение из четырёх пандиагональных квадратов 10-го порядка, являющихся эквивалентными вариантами одного и того же квадрата, изображённого на рис. 7.

 

 

Рис. 7. Пандиагональный квадрат 10-го порядка из простых чисел (S = 6998)

 

На рис. 8 вы видите готовый пандиагональный квадрат 20-го порядка, каждое число в этом квадрате повторено 4 раза. Магическая константа квадрата равна 6998*2 = 13996.

 

 

Рис. 8. Пандиагональный квадрат 20-го порядка из простых чисел с повторениями (S = 13996)

 

Весьма сложно найти совершенный квадрат 20-го порядка из простых чисел или из чисел Смита. Мне удалось пока найти только совершенные квадраты порядков 4 – 8 из простых чисел и только совершенный квадрат 4-го порядка из чисел Смита.

Если строить нетрадиционный совершенный квадрат из произвольных натуральных чисел, то нет никаких сложностей. Берём, например, любую арифметическую прогрессию из натуральных чисел длины 400, записываем её в естественном порядке следования членов в матрицу 20х20 построчно. Понятно, что получаем примитивный квадрат. Пронумеруем элементы этого примитивного квадрата в естественном порядке и заполним этими элементами матрицу 20х20 в соответствии с классическим совершенным квадратом, показанным на рис. 3 (элементы совершенного квадрата суть номера элементов примитивного квадрата).

Можно также применить к этому примитивному квадрату разработанное мной матричное преобразование, превращающее любой обратимый квадрат в классический совершенный квадрат. (Примитивный квадрат, составленный из чисел арифметической прогрессии, является полным аналогом обратимого квадрата.)

Теоретически совершенный квадрат 20-го порядка из простых чисел существует, так как существует арифметическая прогрессия любой длины из простых чисел.

Но нетрадиционный совершенный квадрат не обязательно составляется из членов арифметической прогрессии; это условие является достаточным для построения совершенного квадрата, но не является необходимым. Вот, например, совершенный квадрат 8-го порядка из простых чисел (рис. 9):

 

 

Рис. 9. Совершенный квадрат 8-го порядка из простых чисел (S = 24024)

 

Этот квадрат составлен из следующих простых чисел:

 

19  83  103  167  499  523  563  587  709  733  773  797  1019  1103  1129  1193  1213  1277  1499  1523  1583  1667  1709  1733  2063  2087  2129  2213  2273  2297  2693  2777  3229  3313  3709  3733  3793  3877  3919  3943  4273  4297  4339  4423  4483  4507  4729  4793  4813  4877  4903  4987  5209  5233  5273  5297  5419  5443  5483  5507  5839  5903  5923  5987

 

Очевидно, что эти числа не образуют арифметическую прогрессию. Понятно, что массив чисел, из которых составляется совершенный квадрат, должен состоять из комплементарных пар чисел. Приведённый массив состоит из  32 комплементарных пар простых чисел с суммой чисел в паре 6006.

Для совершенного квадрата 20-го порядка потенциальный массив чисел должен содержать не менее 200 комплементарных пар.

 

В заключение покажу пандиагональный квадрат 24-го порядка из простых чисел, который построен из 16 пандиагональных квадратов 6-го порядка с магической константой 18018 (рис. 10):

 

 

Рис. 10. Пандиагональный квадрат 24-го порядка из простых чисел (S = 72072)

 

Это самый большой пандиагональный квадрат из простых чисел, который мне удалось построить.

 

***

 

Уже дописав статью, решила попробовать построение пандиагонального квадрата 20-го порядка из различных простых чисел по решёткам Россера. Поскольку пандиагональные квадраты 4-го порядка строятся быстрее, чем 5-го порядка, начала с поиска 25 пандиагональных квадратов 4-го порядка. Сначала нашла подходящий набор комплементарных пар простых чисел. Понятно, что для построения 25 пандиагональных квадратов 4-го порядка требуется не менее 200 комплементарных пар. Выбрала набор, содержащий 241 пару комплементарных чисел, сумма чисел в паре равна 6510. Квадраты 4-го порядка, составленные из чисел этого набора, имеют магическую константу 13020. Набор оказался хорошим, построилось ровно 25 пандиагональных квадратов! 26-ой квадрат уже не составился, ну, он нам и не нужен.

 

Размещаем найденные 25 квадратов в решётки Россера, и пандиагональный квадрат 20-го порядка готов. Смотрите этот квадрат на рис. 11. Ничего не могу сказать о минимальности построенного квадрата, это первый такой квадрат. Для порядка 20 магическая константа не очень большая. Однако обычный наименьший магический квадрат 20-го порядка из простых чисел имеет магическую константу 25530. Вполне может быть, что существуют пандиагональные квадраты с меньшей магической константой, чем найденный мной квадрат.