Н. Макарова

 

СОВЕРШЕННЫЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Часть I

 

 

При написании данной статьи использованы материалы следующей статьи: “Perfect latin squares” (Discrete Applied Mathematics 37/38 (1192) 281 – 286).

Прежде всего, приведу определение совершенных латинских квадратов. Даю его в форме фрагмента из указанной статьи:

 

                  

 

Если вы не знаете английский язык, посмотрите перевод этого определения на форуме dxdy.ru в теме “Магические квадраты”:

http://dxdy.ru/topic12959.html

Теперь покажу совершенный латинский квадрат 9-го порядка, который показан на фигуре 3 в статье (рис. 1).

 

 

    

 

Рис. 1

 

Покажу раскраской все подквадраты 3х3, о которых идёт речь в определении (рис. 2). Все эти подквадраты заполнены различными числами от 0 до 8.

 

 

Рис. 2

 

Итак, перед вами совершенный латинский квадрат 9-го порядка. В статье, наверное, рассказывается о методе построения совершенных латинских квадратов, но статью мне не удалось перевести, поэтому не знаю, что в ней написано. Далее выполняю собственные построения.

 

Прежде всего, построю ортогональный соквадрат к приведённому совершенному латинскому квадрату. Это очень просто сделать с помощью перестановки строк в исходном латинском квадрате. Вы видите ортогональный соквадрат на рис. 3.

 

 

Рис. 3

 

Этот латинский квадрат тоже совершенный. Таким образом, мы имеем пару ортогональных совершенных латинских квадратов. Отмечу, что оба совершенных квадрата обладают свойством пандиагональности, поэтому магические квадраты, построенные из данной пары ОЛК, пандиагональны. На рис. 4 – 5 показаны пандиагональные магические квадраты, построенные из этой пары ОЛК.

 

 

Рис. 4

 

 

Рис. 5

 

Понятно, что второй магический квадрат получается из первого точно такой же перестановкой строк, какой второй латинский квадрат получается из первого латинского квадрата.

Эти магические квадраты обладают интересным свойством: сумма чисел в любом квадрате 3х3, находящемся внутри этих квадратов, равна магической константе квадрата. Это свойство сохраняется при параллельном переносе на торе. Вот такие интересные магические квадраты получаются из пары ортогональных совершенных латинских квадратов.

 

Теперь начнём сначала. Как следует из определения, совершенные латинские квадраты могут быть только порядка n². Минимальный порядок совершенного латинского квадрата равен 4. На рис. 6 вы видите пару ортогональных совершенных латинских квадратов 4-го порядка.

 

 

Рис. 6

 

Очевидно, что оба латинских квадрата пары обладают свойством пандиагональности. Из этой пары мы получаем совершенные магические квадраты 4-го порядка (как известно, все пандиагональные квадраты 4-го порядка являются совершенными). На рис. 7 – 8 показаны эти магические квадраты.

 

 

Рис. 7

 

 

Рис. 8

 

Эти магические квадраты эквивалентны, вследствие того, что второй латинский квадрат пары ОЛК получается из первого отражением относительно главной диагонали. Магические квадраты получаются друг из друга таким же преобразованием (это одно из основных преобразований).

В этих магических квадратах, конечно (так как эти квадраты совершенные), тоже выполняется свойство: в любом квадрате 2х2, находящемся внутри этих квадратов, сумма равна магической константе квадрата. Свойство сохраняется при параллельном переносе на торе.

Замечу, что первый совершенный квадрат пары ОЛК (на рис. 6 слева) построен по схеме Агриппы.

 

Теперь надо построить совершенный латинский квадрат 16-го порядка. Ещё раз подчеркну, что построения я выполняю по аналогии с совершенным квадратом 9-го порядка, приведённым на рис. 1 (это квадрат из указанной статьи). На рис. 9 вы видите совершенный латинский квадрат 16-го порядка.

 

 

Рис. 9

 

Все подквадраты 4х4, следующие в строгом порядке за угловым квадратом (он выделен жёлтым цветом) заполнены разными числами от 0 до 15. Квадрат диагональный и обладает свойством пандиагональности. Довольно просто строится ортогональный соквадрат к этому латинскому квадрату (рис. 10).

 

 

Рис. 10

 

Ортогональный соквадрат у меня не получился диагональным, однако он является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 120, поэтому полученная пара ОЛК сразу пригодна для построения магических квадратов. Этот латинский квадрат тоже обладает свойством пандиагональности. Магические квадраты, получаемые из данной пары ОЛК, пандиагональны. На рис. 11 – 12 вы видите эти магические квадраты.

 

 

Рис. 11

 

Посмотрите, какая интересная форма начальной цепочки в этом пандиагональном магическом квадрате: она тоже строится буквой Г, как ходит шахматный конь, только здесь буква Г имеет более длинную сторону, к тому же эта сторона не везде одинакова, при переходе через край квадрата сторона имеет другую длину, нежели внутри квадрата. Оригинальный квадрат! А вот и второй магический пандиагональный квадрат, построенный из этой же пары ОЛК:

 

 

Рис. 12

 

В этом квадрате совсем другая форма начальной цепочки и вроде никакой закономерности в её построении не наблюдается.

В данных магических квадратах имеется такое же свойство, как в построенных выше магических квадратах 4-го и 9-го порядка: в любом квадрате 4х4, находящемся внутри этих квадратов, сумма чисел равна магической константе квадрата. Свойство сохраняется при параллельном переносе на торе.

Эти магические квадраты обладают ещё одним интересным свойством: комплементарные числа в них расположены симметрично вертикальной оси симметрии. Данное свойство сразу навело меня на мысль, что можно получить из этих пандиагональных магических квадратов ассоциативные магические квадраты с помощью преобразования трёх квадратов. Покажу один ассоциативный магический квадрат, полученный из квадрата с рис. 11 (рис. 13).

 

 

Рис. 13

 

Таким образом, из данной пары ОЛК 16-го порядка, первый квадрат в которой является совершенным квадратом, мы построили пандиагональные и ассоциативные магические квадраты.

 

 

Продолжение будет здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/perfect2.htm

 

 

10 мая 2009 г.

г. Саратов

 

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Скачайте электронную версию этой книги:

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

 

Заодно прихватите книгу “Позиционные системы счисления”, авось, пригодится:

 

http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу