ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть I

 

Глава 1. Основные преобразования

 

Преобразования магических квадратов – фундаментальная тема. Во всех моих статьях вы найдёте те или иные преобразования. Я решила написать специальную статью, посвящённую преобразованиям магических квадратов, в которой постараюсь подробно рассказать обо всех известных мне преобразованиях.

Начать надо, конечно же, с основных преобразований. Таких преобразований семь, они применимы ко всем магическим квадратам и даже к полумагическим квадратам. Возьму для демонстрации основных преобразований идеальный магический квадрат 5-ого порядка, изображённый на рис. 1.

 

 

Рис. 1

 

Этот квадрат ассоциативный и пандиагональный. Сейчас вы увидите, что основные преобразования магического квадрата сохраняют эти свойства, то есть квадраты, получающиеся в результате этих преобразований, тоже обладают свойствами ассоциативности и пандиагональности. Основные преобразования называют ещё поворотами и отражениями. Далее перечислены все основные преобразования и показаны магические квадраты, полученные из исходного квадрата с рис. 1 в результате применения к нему этих преобразований.

 

1.      Поворот вокруг центра квадрата на 90 градусов по часовой стрелке (рис. 2):

 

 

Рис. 2

 

2.      Поворот вокруг центра квадрата на 180 градусов (рис. 3):

 

 

Рис. 3

 

Очевидно, что в случае поворота на 180 градусов направление поворота (по часовой стрелке или против часовой стрелки) не имеет значения.

 

3.      Поворот вокруг центра квадрата на 270 градусов по часовой стрелке (рис. 4):

 

 

Рис. 4

 

4.      Отражение относительно горизонтальной оси симметрии квадрата (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

5.      Отражение относительно вертикальной оси симметрии квадрата (рис. 6):

 

 

Рис. 6

 

6.      Это преобразование представляет собой комбинацию двух преобразований - № 1 и № 5, то есть сначала квадрат поворачивается вокруг центра на 90 градусов по часовой стрелке, а затем отражается относительно вертикальной оси симметрии. Получившийся в результате таких преобразований квадрат показан на рис. 7.

 

 

Рис. 7

 

Можно рассматривать это преобразование и как комбинацию преобразований № 3 и № 4. А ещё его можно рассматривать как отражение относительной главной диагонали исходного квадрата (см. рис. 8).

 

 

Рис. 8

 

На рис. 8 оранжевым цветом выделена главная диагональ, относительно которой происходит отражение. Раскрашены одинаковым цветом ячейки, симметрично расположенные относительно данной главной диагонали. Числа в этих ячейках меняются местами.

 

7.      Это преобразование представляет собой комбинацию двух преобразований - № 1 и № 4, то есть сначала квадрат поворачивается на 90 градусов по часовой стрелке, а затем отражается относительно горизонтальной оси симметрии (рис. 9).

 

 

Рис. 9

 

Можно также рассматривать это преобразование как комбинацию преобразований № 3 и № 5.  А ещё его можно рассматривать как отражение относительно второй главной диагонали исходного квадрата (см. рис. 10).

 

 

Рис. 10

 

                        Раскраска аналогична рис. 8.

 

Легко убедиться, что все полученные квадраты ассоциативные и пандиагональные, то есть идеальные.

 

Магические квадраты, получающиеся друг из друга одним из основных преобразований либо комбинацией нескольких основных преобразований, называются эквивалентными, а сами основные преобразования относятся к классу эквивалентных преобразований. Ещё к этому классу относятся торические преобразования, о которых будет рассказано далее. В книге М. Гарднера “Путешествие во времени” (М.: Мир, 1990) эквивалентные квадраты называются изоморфными.

 

Итак, каждый магический квадрат имеет семь эквивалентных (изоморфных) вариантов. Если рассматривают некоторую группу магических квадратов, в которой отсутствуют эквивалентные квадраты, о такой группе магических квадратов говорят, что она задана с учётом основных преобразований (или с учётом поворотов и отражений). Например, магический квадрат третьего порядка всего один с учётом основных преобразований. Ещё пример:  группа идеальных квадратов 5-ого порядка, один из которых представлен здесь, состоит из 16 квадратов с учётом основных преобразований. В указанной выше книге М. Гарднера приводится такое количество всех магических квадратов пятого порядка: “С точностью до поворотов и отражений существует 275305224 магических квадратов порядка 5”. Представьте: из такого огромного количества квадратов только 16 идеальных! Магических квадратов 4-ого порядка с точностью до основных преобразований существует 880. Из них 48 пандиагональных и 48 ассоциативных. А вот с точностью до торических преобразований, о которых будет рассказано далее, пандиагональных квадратов 4-ого порядка только 3. Пандиагональных квадратов 5-ого порядка существует 3600 с учётом поворотов и отражений, а с учётом торических преобразований их только 144.

 

Выше было сказано, что основные преобразования применимы и к полумагическим квадратам. Покажу только один пример. В качестве исходного возьму полумагический квадрат Франклина 8-ого порядка (рис. 11).

 

 

Рис. 11

 

Применим к этому полумагическому квадрату основное преобразование № 7. Получившийся квадрат вы видите на рис. 12.

 

 

Рис. 12

 

Очевидно, что квадрат остался полумагическим.

 

Основные преобразования превращают также бимагический квадрат в бимагический, потому что эти преобразования не изменяют наборов чисел в строках, в столбцах и в главных диагоналях квадрата, а этого достаточно для того, чтобы квадрат оставался бимагическим в результате таких преобразований.

 

Глава 2. Торические преобразования

 

Торические преобразования или преобразования параллельного переноса на торе применимы только к пандиагональным магическим квадратам. Ещё существует небольшая группа дьявольски полумагических квадратов Франклина, к которым тоже применимы торические преобразования.

Преобразование параллельного переноса на торе по одной оси легко выполнить так: сверните магический квадрат в трубочку, склейте его края, например, левый и правый. Затем разрежьте трубочку по вертикали в другом месте (не там, где склеены края) и разверните квадрат. Вы получите новый пандиагональный квадрат. Если склеить нижний и верхний края квадрата и разрезать трубочку по горизонтали, то получится параллельный перенос по другой оси. Можно выполнить параллельный перенос одновременно по обеим осям.

Любой пандиагональный магический квадрат порядка n образует группу из n² пандиагональных квадратов, получаемых друг их друга торическими преобразованиями. Как уже было сказано выше, торические преобразования относятся к классу эквивалентных преобразований.

 

Ещё проще представить торические преобразования на магической плоскости. Такая плоскость получится, если расположить на плоскости бесконечное количество копий одного и того же пандиагонального квадрата. Возьмём для примера следующий пандиагональный квадрат 5-ого порядка (рис. 13):

 

 

Рис. 13

 

Изобразим магическую плоскость с помощью этого пандиагонального квадрата (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

Плоскость можно продолжать бесконечно во всех направлениях: вверх, вниз, влево, вправо. Любой квадрат 5х5 на этой плоскости будет пандиагональным. В группе из 25 пандиагональных квадратов 5-ого порядка, образуемой одним пандиагональным квадратом, имеются квадраты, начинающиеся с каждого из чисел от 1 до 25. На магической плоскости можно очертить все эти 25 квадратов. Например, на рисунке выделены квадраты, начинающиеся с чисел 1, 3, 6, 20, 24, 25.

 

Интересно привести пример из указанной выше книги М. Гарднера. Автор использует для построения магической плоскости идеальный квадрат 5-ого порядка, изображённый на рис. 15.

 

 

Рис. 15

 

Правда, в книге идеальный квадрат называется пандиагональ-ассоциативным. Ну, это, по-моему, изобретение переводчика.

Цитата из книги:

 

 

Тут следует добавить, что мы непременно получим пандиагональный магический квадрат. А вот ассоциативность при торических преобразованиях нарушается, а, следовательно, торические преобразования не всегда сохраняют идеальность квадрата. На рис. 16 показана магическая плоскость, построенная автором книги с помощью квадрата с рис. 15.

 

 

Рис. 16

 

Но самой замечательной является совершенная плоскость. Это плоскость, заполненная копиями совершенного квадрата, например, 4-ого порядка. На рис. 17 вы видите совершенную плоскость. Любой квадрат 4х4 на этой плоскости является совершенным.

 

 

Рис. 17

 

Любой пандиагональный квадрат 4-ого порядка образует группу из 16 пандиагональных квадратов, получающихся друг из друга торическими преобразованиями. Эти квадраты начинаются с чисел от 1 до 16. Все эти квадраты легко очертить на совершенной плоскости, изображённой на рис. 17. Как уже сказано выше, с учётом торических преобразований пандиагональных квадратов 4-ого порядка всего 3. Следовательно, существует только три совершенные плоскости, заполненные копиями пандиагонального квадрата 4-ого порядка. Одна из них изображена на рис. 17.

 

Вспомнила, что о совершенной плоскости я писала в своей статье о совершенных магических квадратах:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh2.htm

 

В этой статье есть понятие ядра совершенной плоскости. На рис. 18 вы видите ещё одну совершенную плоскость, заполненную копиями другого пандиагонального квадрата 4-ого порядка. На этой плоскости выделено ядро, это квадрат размером 7х7 (размер ядра для совершенной плоскости порядка n равен 2n-1), который содержит все 16 совершенных квадратов, получаемых друг из друга торическими преобразованиями. Ядро может быть расположено в любом месте плоскости.

 

 

Рис. 18

 

Примечание: понятие ядра применимо и к магической плоскости.

 

Аналогично можно составить совершенную плоскость любого порядка n=4k.

Покажу ещё совершенную плоскость восьмого порядка (рис. 19).

 

 

Рис. 19

 

Голубым цветом выделено ядро этой совершенной плоскости – квадрат 15х15. В этом ядре очерчено несколько совершенных квадратов, полученных из основного совершенного квадрата торическими преобразованиями. Совершенный квадрат 8-ого порядка образует группу из 64 совершенных квадратов, все эти квадраты можно очертить в ядре совершенной плоскости, заполненной копиями исходного совершенного квадрата.

 

В идеальных квадратах порядка n=4k торические преобразования иногда сохраняют идеальность квадрата, то есть не нарушают ассоциативность. Приведу пример. Возьмём в качестве исходного квадрата идеальный квадрат 12-ого порядка, изображённый на рис. 20.

 

 

                                                     Рис. 20

 

Этот квадрат можно перенести на торе так, что он останется идеальным, то есть новый квадрат обладает свойствами и пандиагональности (это свойство сохраняется при любом параллельном переносе на торе идеального квадрата), и ассоциативности. На рис. 21 показан один из вариантов. Другие варианты параллельных переносов на торе данного квадрата, сохраняющих идеальность, предлагаю сделать читателям.

 

 

                                                     Рис. 21

 

Теперь покажу применение торических преобразований к одному из дьявольски полумагических квадратов Франклина 8-ого порядка. Термин “дьявольски полумагический” придуман мной. Я назвала так полумагические квадраты Франклина как раз за это чудесное свойство: они остаются полумагическими с теми же суммами по главным диагоналям при любом параллельном переносе на торе. По аналогии с магической плоскостью мы можем говорить в этом случае о дьявольски полумагической плоскости. Понятно, что эта плоскость заполняется копиями дьявольски полумагического квадрата. На рис. 22 показана такая плоскость, заполненная дьявольски полумагическим квадратом Франклина 8-ого порядка.

 

 

Рис. 22

 

В квадрате выделен исходный полумагический квадрат Франклина и очерчено несколько полумагических квадратов, получаемых из исходного торическими преобразованиями. Точно так же группа этого полумагического квадрата будет содержать 64 полумагических квадрата, считая исходный квадрат. Проверьте суммы чисел в главных диагоналях очерченных квадратов и убедитесь, что они совпадают с двумя значениями: 252 и 268.

Интересно отметить, что по аналогии с дьявольски полумагическими квадратами Франклина 8-ого и 16-ого порядка я построила дьявольски полумагические квадраты других порядков n=4k. Читайте об этом в статье “Квадраты Франклина”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin.htm

 

А вот идеальный квадрат 8-ого порядка, построенный по схеме Франклина, заложенной в его пандиагональном квадрате 16-ого порядка (рис. 23):

 

 

Рис. 23

 

Нетрудно увидеть, что этот идеальный квадрат тоже можно перенести на торе так, что он останется идеальным. На рис. 24 показан один из вариантов такого переноса.

 

 

Рис. 24

 

Кстати, магическая плоскость, заполненная копиями пандиагонального квадрата Франклина 16-ого порядка, будет обладать интересными свойствами, которые присущи этому квадрату. Назовём эту плоскость магической плоскостью Франклина (рис. 25).