ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть II

 

Глава 3. Матричная форма преобразований

 

В матричной форме может быть задано любое преобразование магического квадрата. Обозначим матрицу исходного квадрата A(aij), для квадрата порядка n i,j = 1, 2, 3 … n. Матрицу преобразованного квадрата обозначим B(bij). Будем называть для краткости квадрат с матрицей A(aij) квадратом А, квадрат с матрицей B(bij) квадратом В. Тогда преобразование f, превращающее квадрат А в квадрат В, можно записать в виде следующего равенства:

 

B = f(А)

 

Сразу же определим понятие обратного преобразования. Понятно, что если некоторое преобразование f превращает квадрат А в квадрат В, то существует обратное ему преобразование, которое превращает квадрат В в квадрат А. Такое преобразование запишется в следующем виде:

 

А = f-1(В)

 

Приведу поясняющие примеры. Для наглядности возьмём в качестве исходного квадрата квадрат пятого порядка (рис. 1).

 

1

23

10

14

17

15

19

2

21

8

22

6

13

20

4

18

5

24

7

11

9

12

16

3

25

 

Рис. 1

 

Матрица этого квадрата будет иметь вид (рис. 2):

 

а11

а12

а13

а14

а15

а21

а22

а23

а24

а25

а31

а32

а33

а34

а35

а41

а42

а43

а44

а45

а51

а52

а53

а54

а55

 

Рис. 2

 

В этой матрице индексы элементов следуют в естественном порядке, первый индекс, как правило, означает номер строки, а второй индекс – номер столбца.

 

Примечание: иногда индексы элементов разделяются запятыми: аi,j. Я использую запятую только начиная с квадратов 10-ого порядка, когда индексы являются двузначными числами.

 

Теперь применим к исходному квадрату основное преобразование № 1 – поворот вокруг центра квадрата на 90 градусов по часовой стрелке. Очевидно, что матрица преобразованного квадрата В будет иметь такой вид (рис. 3):

 

а51

а41

а31

а21

а11

а52

а42

а32

а22

а12

а53

а43

а33

а23

а13

а54

а44

а34

а24

а14

а55

а45

а35

а25

а15

 

Рис. 3

 

Эта матрица и есть матричная форма основного преобразования № 1. Будем для краткости говорить, что данная матрица является матрицей основного преобразования № 1, или: основное преобразование № 1 задано матрицей. Если предположить, что некто мистер Х не знает, как повернуть квадрат вокруг центра на 90 градусов по часовой стрелке, надо дать ему матрицу этого преобразования и тогда он без труда составит преобразованный квадрат.

Приведу ещё один пример. Применим к исходному квадрату одно из торических преобразований, например, задаваемое матрицей, изображённой на рис. 4.

 

а33

а34

а35

а31

а32

а43

а44

а45

а41

а42

а53

а54

а55

а51

а52

а13

а14

а15

а11

а12

а23

а24

а25

а21

а22

 

Рис. 4

 

В результате применения преобразования, заданного этой матрицей, мы получим следующий квадрат (рис. 5):

 

13

20

4

22

6

24

7

11

18

5

16

3

25

9

12

10

14

17

1

23

2

21

8

15

19

 

Рис. 5

 

Иногда магический квадрат надо преобразовать, увеличив или уменьшив все его элементы на одно и то же число. Очевидно, что такое преобразование можно записать так:

 

bij = aij + const

 

Если прибавляемая константа число положительное, то все элементы увеличатся, а если константа число отрицательное, то все элементы уменьшатся.

Можно преобразовать магический квадрат, умножив (или разделив) все его элементы на одно и то же число. Такое преобразование запишется формулой:

 

bij = aij  * const

 

Понятно, что в результате применения таких преобразований получатся нетрадиционные магические квадраты. Однако, очень часто наоборот нетрадиционный квадрат, заполненный числами от 0 до n2-1, превращается с помощью увеличения всех его элементов на единицу в традиционный магический квадрат, заполненный числами от 1 до n2. В этом случае прибавляемая константа в приведённой выше формуле равна 1.

 

Глава 4. Взятие дополнения

 

Об этом преобразовании я узнала из книги М. Гарднера “Путешествие во времени” (М.: Мир, 1990). Кстати, очень интересная книга, предлагаю адрес электронной версии книги:

 

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/G/GARDNER_Martin/Puteshestvie_vo_vremeni.%20%5Bdjv%5D.zip

 

Преобразование состоит в замене каждого элемента магического квадрата комплементарным числом. Напомню, что я называю два числа в магическом квадрате порядка n комплементарными, если они составляют в сумме n2 + 1. В книге Ю. В. Чебракова такие числа называются взаимно дополнительными.

Преобразование взятия дополнения можно выразить следующей формулой:

 

[1]                                 bij = (-1) * aij  + n2 + 1

 

Для демонстрации преобразования возьмём сначала магический квадрат 5-ого порядка, изображённый на рис. 6.

 

5

4

24

15

17

25

21

2

11

6

3

23

7

20

12

18

16

13

10

8

14

1

19

9

22

 

Рис. 6

 

Очевидно, что этот квадрат не обладает никакими дополнительными свойствами. Применим к нему преобразование взятия дополнения. В результате получится такой магический квадрат (рис. 7):

 

21

22

2

11

9

1

5

24

15

20

23

3

19

6

14

8

10

13

16

18

12

25

7

17

4

 

Рис. 7

 

Очевидно, что получен совершенно новый магический квадрат не эквивалентный исходному. В указанной книге говорится, что иногда данное преобразование относится к классу эквивалентных преобразований.

Посмотрим, какой квадрат получится, если применить данное преобразование к ассоциативному магическому квадрату 5-ого порядка, изображённому на рис. 1 (рис. 8):

 

25

3

16

12

9

11

7

24

5

18

4

20

13

6

22

8

21

2

19

15

17

14

10

23

1

 

Рис. 8

 

Очевидно, что полученный квадрат эквивалентен исходному, он получается из исходного поворотом на 180 градусов. Это и понятно: в ассоциативном квадрате комплементарные числа расположены симметрично относительно центра квадрата. Таким образом, для ассоциативных магических квадратов взятие дополнения равносильно повороту квадрата на 180 градусов.

 

Примечание: два преобразования f и g называются равносильными, если f(A) = g(A).

 

Нетрудно увидеть из формулы [1], что взятие дополнения сохраняет пандиагональность квадрата. Возьмём, например, такой пандиагональный квадрат 5-ого порядка (рис. 9):

 

1

12

20

23

9

18

24

6

2

15

7

5

13

19

21

14

16

22

10

3

25

8

4

11

17

 

Рис. 9

 

Квадрат, получившийся в результате применения к данному квадрату преобразования взятия дополнения, изображён на рис. 10.

 

25

14

6

3

17

8

2

20

24

11

19

21

13

7

5

12

10

4

16

23

1

18

22

15

9

 

Рис. 10

 

Очевидно, что квадрат остался пандиагональным.

Итак, взятие дополнения сохраняет и ассоциативность, и пандиагональность квадрата, а значит, сохраняет идеальность (смотрите преобразование идеального квадрата с рис. 1).

Посмотрим на результат применения данного преобразования к совершенному квадрату 8-ого порядка, изображённому на рис. 11.

 

1

16

17

32

50

63

34

47

62

51

46

35

13

4

29

20

5

12

21

28

54

59

38

43

58

55

42

39

9

8

25

24

15

2

31

18

64

49

48

33

52

61

36

45

3

14

19

30

11

6

27

22

60

53

44

37

56

57

40

41

7

10

23

26

 

Рис. 11

 

Квадрат, полученный в результате взятия дополнения, изображён на рис. 12.

 

64

49

48

33

15

2

31

18

3

14

19

30

52

61

36

45

60

53

44

37

11

6

27

22

7

10

23

26

56

57

40

41

50

63

34

47

1

16

17

32

13

4

29

20

62

51

46

35

54

59

38

43

5

12

21

28

9

8

25

24

58

55

42

39

 

Рис. 12

 

Как и следовало ожидать, полученный квадрат совершенный. Посмотрите, как интересно получен новый квадрат из исходного: просто переставлены угловые квадраты 4х4.

Наконец, применим взятие дополнения к дьявольски полумагическому квадрату Франклина 8-ого порядка, изображённому на рис. 13.

 

52

61

4

13

20

29

36

45

14

3

62

51

46

35

30

19

53

60

5

12

21

28

37

44

11

6

59

54

43

38

27

22

55

58

7

10

23

26

39

42

9

8

57

56

41

40

25

24

50

63

2

15

18

31

34

47

16

1

64

49

48

33

32

17

 

Рис. 13

 

Получившийся в результате применения преобразования квадрат показан на рис. 14.

 

13

4

61

52

45

36

29

20

51

62

3

14

19

30

35

46

12

5

60

53

44

37

28

21

54

59

6

11

22

27

38

43

10

7

58

55

42

39

26

23

56

57

8

9

24

25

40

41

15

2

63

50

47

34

31

18

49

64

1

16

17

32

33

48

 

Рис. 14

 

Легко убедиться, что квадрат остался дьявольски полумагическим с теми же значениями сумм чисел по главным диагоналям (только эти значения поменялись местами).

 

Сохранение всех свойств магического квадрата при взятии дополнения не только легко увидеть на конкретных примерах, но и можно доказать, основываясь на формуле [1], выражающей данное преобразование.

 

Понятно, что если не относить взятие дополнения к классу эквивалентных преобразований, то мы получим с помощью этого преобразования множество новых магических квадратов разных видов: пандиагональных, совершенных, полумагических и даже бимагических, потому что это преобразование сохраняет и бимагичность квадрата. Например, выполним это преобразование для бимагического квадрата 8-ого порядка (рис. 15), найденного по ссылке:

 

http://cboyer.club.fr/multimagie/English/Panbimagic.htm

 

 

1903: A pandiagonal magic square which is also a bimagic square, by Gaston Tarry, France

9

51

8

62

44

18

37

31

4

58

13

55

33

27

48

22

46

24

35

25

15

53

2

60

39

29

42

20

6

64

11

49

21

47

28

34

56

14

57

3

32

38

17

43

61

7

52

10

50

12

63

5

19

41

30

40

59

1

54

16

26

36

23

45

 

Рис. 15

 

Получившийся в результате выполнения преобразования квадрат изображён на рис. 16.

 

56

14

57

3

21

47

28

34

61

7

52

10

32

38

17

43

19

41

30

40

50

12

63

5

26

36

23

45

59

1

54

16

44

18

37

31

9

51

8

62

33

27

48

22

4

58

13

55

15

53

2

60

46

24

35

25

6

64

11

49

39

29

42

20

 

Рис. 16

 

Легко убедиться, что этот квадрат бимагический. Кроме того, он пандиагональный, как и исходный квадрат.

Обратите внимание: здесь, как и в случае с совершенным квадратом, при взятии дополнения просто переставлены угловые квадраты 4х4; хотя исходный квадрат и не является совершенным, он обладает свойством комплементарности, присущим совершенным квадратам.

 

Взятие дополнения в случае ассоциативного или идеального квадрата даёт эквивалентный квадрат.

 

Примечание: когда я работала над составлением банка базовых пандиагональных квадратов 5-ого порядка, не знала об этом преобразовании (книга М. Гарднера у меня появилась совсем недавно – в электронной версии). Как известно, существует 144 базовых пандиагональных квадратов 5-ого порядка с учётом основных и торических преобразований. Как мне помогло бы тогда данное преобразование! Например, квадрат, изображённый на рис. 9, взят из банка базовых пандиагональных квадратов. А квадрат, полученный из него взятием дополнения (рис. 10), в моём банке записан в таком эквивалентном виде (рис. 17):

 

1

12

19

8

25

18

10

21

2

14

22

4

13

20

6

15

16

7

24

3

9

23

5

11

17

 

Рис. 17

 

Поскольку среди всех базовых пандиагональных квадратов 5-ого порядка ассоциативных квадратов только 16, остальные 128 пандиагональных квадратов можно разделить на две равные  группы, в первой группе все квадраты различные с точностью взятия дополнения, во второй группе – квадраты, получающиеся из квадратов первой группы взятием дополнения.

 

В процессе поиска всех базовых пандиагональных квадратов 5-ого порядка я открыла замечательное преобразование “строки-диагонали” и преобразования типа “плюс-минус …”, о них будет рассказано далее. Все базовые квадраты были построены. А затем я доказала, что 143 квадрата можно получить из одного базового квадрата с помощью различных преобразований. Этим базовым квадратом является идеальный квадрат, изображённый на рис. 1.

 

Глава 5. Преобразование “строки диагонали”

 

Как уже сказано выше, преобразование “строки-диагонали” я обнаружила, исследуя пандиагональные квадраты 5-ого порядка. Это преобразование применимо только к пандиагональным квадратам нечётного порядка. Преобразование задаётся в матричной форме. Для квадратов 5-ого порядка матрица преобразования “строки-диагонали” имеет вид (рис. 18):

 

а11

а34

а52

а25

а43

а44

а12

а35

а53

а21

а22

а45

а13

а31

а54

а55

а23

а41

а14

а32

а33

а51

а24

а42

а15

 

Рис. 18

 

Возьмём в качестве исходного квадрата пандиагональный квадрат, изображённый на рис. 9. Применим к нему преобразование “строки-диагонали”, заданное матрицей, показанной на рис. 18. Получим новый пандиагональный квадрат (рис. 19):

 

1

19

8

15

22

10

12

21

4

18

24

3

20

7

11

17

6

14

23

5

13

25

2

16

9

 

Рис. 19

 

В то время, когда я обнаружила это преобразование, мы сотрудничали с Георгием Александровым и вместе усердно искали базовые пандиагональные квадраты 5-ого порядка. Я написала Георгию об открытом преобразовании. Он был восхищён его красотой и прислал мне такую картинку (рис. 20):

 

      

 

Рис. 20

 

Плохо только, что картинка не заполнена числами. Этот недостаток я сейчас исправлю.

 

Преобразование пандиагонального квадрата

 

Рис. 21

 

Итак, перед вами картинка, авторами которой являются Александров и немножко я (нарисовала стрелку и написала числа). На картинке изображено преобразование “строки-диагонали”, применённое к пандиагональному квадрату 5-ого порядка, исходный квадрат изображён слева. Георгий наглядно показал, как все строки исходного квадрата превратились в диагонали нового квадрата, при этом первая строка (верхняя) превращается в главную диагональ, а остальные строки – в разломанные диагонали этого же направления. Следует отметить, что столбцы исходного квадрат тоже превращаются в диагонали – другого направления, при этом в главную диагональ превращается центральный столбец. Ещё интереснее то, что все диагонали исходного квадрата, как главные, так и разломанные, превращаются в строки и столбцы нового квадрата.

Замечательное преобразование, есть чему восхищаться!

Не знаю, известно ли было это преобразование раньше, но мне оно не встречалось. Обнаружила я его совершенно случайно, сравнивая пандиагональные квадраты 5-ого порядка, которые выдавала составленная мной программа. Так случилось, что мне на глаза попались именно два квадрата, связанные этим преобразованием. Счастливая случайность!

 

Далее применим это же преобразование к новому квадрату (рис. 19). Снова нарисую картинку (рис. 22):

 

Преобразование пандиагонального квадрата

 

Рис. 22

 

Получившийся в результате преобразования квадрат представим в таком эквивалентном виде (рис. 23):

 

1

23

12

9

20

7

19

5

21

13

25

11

8

17

4

18

2

24

15

6

14

10

16

3

22

 

Рис. 23

 

Сравните этот квадрат с исходным квадратом (рис. 9) и вы увидите, что он получается из него перестановкой строк и столбцов.

 

Применим преобразование “строки-диагонали” к последнему результату – квадрату, изображённому на рис. 22 справа. Рисую новую картинку (рис. 24):

 

Преобразование пандиагонального квадрата

 

Рис. 24

 

Мы получили новый пандиагональный квадрат. А теперь примените к этому квадрату ещё раз преобразование “строки-диагонали”, у вас получится исходный квадрат с рис. 9.

Обозначим исходный квадрат с рис. 9 квадратом А, квадрат, изображённый на рис. 19 (или на рис. 21 справа) – квадратом В, квадрат, изображённый на рис. 22 справа – квадратом С, квадрат, изображённый на рис. 24 справа – квадратом D, преобразование “строки-диагонали” обозначим f. Тогда можно записать такие равенства:

 

B = f(A),   C = f(B),   D = f(C) = f{f[f(A)]},   f(D) = A

 

Таким образом, трёхкратное применение преобразования “строки-диагонали” даёт новые пандиагональные квадраты, а применение преобразования в четвёртый раз даёт исходный квадрат. Следовательно, каждый пандиагональный квадрат 5-ого порядка образует группу из четырёх квадратов, считая этот квадрат, квадраты этой группы получаются из исходного трёхкратным применением преобразования “строки-диагонали”. Теперь совершенно понятно, что данное преобразование позволило мне свести банк базовых пандиагональных квадратов 5-ого порядка к одной четверти, то есть к 36 квадратам. Далее я сокращала количество базовых квадратов с помощью преобразований типа “плюс-минус …”, о которых будет рассказано ниже.

 

Приведу матрицу преобразования, обратного преобразованию “строки-диагонали” (рис. 25):

 

а11

а22

а33

а44

а55

а25

а31

а42

а53

а14

а34

а45

а51

а12

а23

а43

а54

а15

а21

а32

а52

а13

а24

а35

а41

 

Рис. 25

 

Обратимся снова к картинке на рис. 21. На этой картинке мы видим применение преобразования “строки-диагонали” к квадрату А: B = f(A). А теперь применим обратное преобразование, заданное матрицей на рис. 25, к квадрату В: А = f-1(B). На картинке надо повернуть стрелку в обратную сторону, исходный квадрат (В) теперь будет справа, а преобразованный квадрат (А) – слева.

Покажу другой пример применения обратного преобразования. В качестве исходного возьму идеальный квадрат с рис. 1. На рис. 26 изображена иллюстрация применения обратного преобразования к этому квадрату.

 

Преобразование пандиагонального квадрата

 

Рис. 26

 

Получившийся в результате преобразования квадрат сохранил пандиагональность, но утратил ассоциативность. Легко превратить этот квадрат в ассоциативный параллельным переносом на торе. На рис. 27 вы видите новый идеальный квадрат, который получен из идеального квадрата с рис. 1 комбинацией преобразований: “строки-диагонали” и параллельный перенос на торе.

 

 

24

3

17

15

6

12

10

21

4

18

1

19

13

7

25

8

22

5

16

14

20

11

9

23

2

 

Рис. 27

 

Пропускаю пандиагональные квадраты 7-ого порядка, предоставляя читателям самим составить матрицу преобразования “строки-диагонали” для этих квадратов. Перехожу к пандиагональным квадратам 9-ого порядка. Матрица данного преобразования для этих квадратов имеет следующий вид (рис. 28):

 

a11

a56

a92

a47

a83

a38

a74

a29

a65

a66

a12

a57

a93

a48

a84

a39

a75

a21

a22

a67

a13

a58

a94

a49

a85

a31

a76

a77

a23

a68

a14

a59

a95

a41

a86

a32

a33

a78

a24

a69

a15

a51

a96

a42

a87

a88

a34

a79

a25

a61

a16

a52

a97

a43

a44

a89

a35

a71

a26

a62

a17

a53

a98

a99

a45

a81

a36

a72

a27

a63

a18

a54

a55

a91

a46

a82

a37

a73

a28

a64

a19

 

Рис. 28

 

На иллюстрации (рис. 29) изображено применение преобразования, заданного этой матрицей, к идеальному квадрату 9-ого порядка.

 

Преобразование пандиагонального квадрата

 

Рис. 29

 

Примечание: приношу свои извинения за плохой рисунок, художник из меня никудышный, не умею работать с Фотошопом. Может быть, кто-нибудь из вас, мои дорогие читатели, сделает хорошую картинку? В принципе, всё это можно показать с помощью обычных таблиц, но картинка – лучше.

 

Здесь всё точно так же, как в квадратах 5-ого порядка, девять строк исходного квадрата превращаются в девять диагоналей нового квадрата одного направления, при этом первая строка (верхняя) превращается в главную диагональ, а остальные строки – в разломанные диагонали. Все девять столбцов исходного квадрата превращаются в девять диагоналей другого направления, при этом в главную диагональ превращается центральный столбец.

Посмотрите на преобразованный квадрат, он утратил ассоциативность и потому уже не является идеальным, но его очень просто сделать идеальным с помощью торического преобразования. На рис. 30 вы видите новый идеальный квадрат 9-ого порядка:

 

52

18

37

66

31

26

5

74

60

35

23

2

78

61

54

10

39

67

63

46

12

40

71

32

20

6

79

68

29

24

7

81

55

48

13

44

73

57

49

17

41

65

33

25

9

38

69

34

27

1

75

58

53

14

3

76

62

50

11

42

70

36

19

15

43

72

28

21

4

80

59

47

22

8

77

56

51

16

45

64

30

 

Рис. 30

 

Этот квадрат получен из исходного идеального квадрата (рис. 29, слева) комбинацией двух преобразований: “строки-диагонали” и параллельный перенос на торе.

Обозначим исходный квадрат, изображённый на рис. 29 слева, квадратом А, а квадрат, изображённый на этом рисунке справа, квадратом В, квадрат, изображённый на рис. 30, квадратом С, f – преобразование “строки-диагонали”, g – торическое преобразование. Тогда можно записать:

 

В = f(A),   C = g(B) = g[f(A)]

 

Поскольку к пандиагональным квадратам 9-ого порядка я применяла преобразование “строки-диагонали” чаще всего, давно уже составила программку, выполняющую это преобразование. Сейчас мне эта программка очень пригодилась. Меня заинтересовал вопрос: на каком шаге данное преобразование возвратит исходный квадрат. Как мы видели, для квадратов 5-ого порядка это происходит на четвёртом шаге, то есть, применив преобразование три раза, мы получаем новые квадраты, а применив преобразование в четвёртый раз, получаем исходный квадрат. Поэтому мы говорим о группе из четырёх пандиагональных квадратов 5-ого порядка, образуемой данным преобразованием.

Итак, по программе я выполняла преобразование до тех пора, пока не получился исходный квадрат. Покажу на рис. 31 второй шаг (сделаю это с помощью обычных таблиц), теперь исходным является квадрат, полученный в результате первого применения преобразования (этот квадрат на рис. 29 справа).

 

               Преобразование “строки-диагонали” для квадрата 9-ого порядка

 

 

 

1

75

58

53

14

38

69

34

27

 

 

 

1

52

65

8

48

72

6

50

67

 

 

 

11

42

70

36

19

3

76

62

50

35

75

18

33

77

13

28

79

11

21

4

80

59

47

15

43

72

28

42

23

58

37

25

56

44

21

63

51

16

45

64

30

22

8

77

56

46

70

2

53

66

9

51

68

4

31

26

5

74

60

52

18

37

66

-->

80

12

36

78

14

31

73

16

29

61

54

10

39

67

35

23

2

78

 

24

59

40

19

61

38

26

57

45

71

32

20

6

79

63

46

12

40

64

7

47

71

3

54

69

5

49

81

55

48

13

44

68

29

24

7

17

30

81

15

32

76

10

34

74

41

65

33

25

9

73

57

49

17

60

41

22

55

43

20

62

39

27

 

 

Рис. 31

 

Примечание: опять отвлекусь на картинки. Вот с помощью обычных таблиц всё получилось гораздо чётче. А нельзя ли вот эту вордовскую картинку как-нибудь превратить в иллюстрацию, которую смог бы “кушать” Фотошоп?

А почему, собственно, я заинтересовалась картинками? В переписке с одним товарищем спросила его, почему мои магические квадраты не появляются в картинках, например, Яндекса. Товарищ ответил, что квадраты надо помещать на картинки, а не делать в форме таблиц. Тогда поисковики смогут их находить. Вот тут-то и началось моё увлечение картинками. Занятный факт для истории! Посмейтесь над неумелой бабушкой. Расскажите это своим друзьям в качестве самого свежего анекдота.

Ещё товарищ написал, что надо знать язык html и снабжать картинки комментариями. А вот это я делать немножко умею, этому меня научил мой учитель Вячеслав Геннадьевич Иванов.

***

 

Замечу попутно, что новый пандиагональный квадрат тоже очень легко превращается в идеальный параллельным переносом на торе, вот так (рис. 32):

 

73

16

29

80

12

36

78

14

31

26

57

45

24

59

40

19

61

38

69

5

49

64

7

47

71

3

54

10

34

74

17

30

81

15

32

76

62

39

27

60

41

22

55

43

20

6

50

67

1

52

65

8

48

72

28

79

11

35

75

18

33

77

13

44

21

63

42

23

58

37

25

56

51

68

4

46

70

2

53

66

9

 

Рис. 32

 

Следующим шагом применяем преобразование к квадрату, получившемуся на предыдущем шаге  (этот квадрат на рис. 31 справа) и так далее. По программе всё это я сделала очень быстро. И только 24-ое применение преобразования дало исходный квадрат! Таким образом, преобразование “строки-диагонали” создаёт из одного пандиагонального квадрата 9-ого порядка группу из 24 пандиагональных квадратов (считая исходный квадрат). Для рассматриваемого примера эта группа приведена ниже. Квадрат № 1 – это исходный квадрат (см. рис. 29).

 

Группа из 24 пандиагональных квадратов 9-ого порядка, образованная преобразованием “строки-диагонали”

 

№ 1                                                               № 2

1  42  80  64  60  35  46  24  17                     1  75  58  53  14  38  69  34  27

50  21  16  5  39  79  68  57  34                     11  42  70  36  19  3  76  62  50  

72  56  31  54  20  13  9  38  76                     21  4  80  59  47  15  43  72  28

8  37  78  71  55  33  53  19  15                     51  16  45  64  30  22  8  77  56

52  23  12  7  41  75  70  59  30                     31  26  5  74  60  52  18  37  66

67  63  29  49  27  11  4  45  74                     61  54  10  39  67  35  23  2  78

6  44  73  69  62  28  51  26  10                     71  32  20  6  79  63  46  12  40

48  25  14  3  43  77  66  61  32                     81  55  48  13  44  68  29  24  7

65   58 36  47  22  18  2  40  81                     41  65  33  25  9  73  57  49  17

 

№ 3                                                               № 4

1  52  65  8  48  72  6  50  67                         1  31  41  51  81  21  71  11  61

 35  75  18  33  77  13  28  79  11                  38  52  73  22  68  15  63  3  35  

 42  23  58  37  25  56  44  21  63                  75  26  65  16  55  4  32  42  54  

 46  70  2  53  66  9  51  68  4                        69  18  57  8  29  43  46  76  23  

 80  12  36  78  14  31  73  16  29                  58  5  33  45  48  80  20  70  10

 24  59  40  19  61  38  26  57  45                  34  37  49  77  24  72  12  62  2  

 64  7  47  71  3  54  69  5  49                        53  74  25  64  13  59  6  36  39  

 17  30  81  15  32  76  10  34  74                  27  66  17  56  7  28  40  50  78  

 60  41  22  55  43  20  62  39  27                  14  60  9  30  44  47  79  19  67  

 

№ 5                                                               № 6

1  80  60  46  17  42  64  35  24                     1  58  14  69  27  75  53  38  34  

 72  31  20  9  76  56  54  13  38                    21  80  47  43  28  4  59  15  72

 52  12  41  70  30  23  7  75  59                    31  5  60  18  66  26  74  52  37

 6  73  62  51  10  44  69  28  26                    71  20  79  46  40  32  6  63  12

 65  36  22  2  81  58  47  18  40                    41  33  9  57  17  65  25  73  49  

 50  16  39  68  34  21  5  79  57                    11  70  19  76  50  42  36  3  62  

 8  78  55  53  15  37  71  33  19                    51  45  30  8  56  16  64  22  77  

 67  29  27  4  74  63  49  11  45                    61  10  67  23  78  54  39  35  2

 48  14  43  66  32  25  3  77  61                    81  48  44  29  7  55  13  68  24  

 

№ 7                                                               № 8                                                              

1  65  48  6  67  52  8  72  50                         1  41  81  71  61  31  51  21  11

 42  58  25  44  63  23  37  56  21                  75  65  55  32  54  26  16  4  42

 80  36  14  73  29  12  78  31  16                  58  33  48  20  10  5  45  80  70  

 64  47  3  69  49  7  71  54  5                        53  25  13  6  39  74  64  59  36  

 60  22  43  62  27  41  55  20  39                  14  9  44  79  67  60  30  47  19  

 35  18  77  28  11  75  33  13  79                  38  73  68  63  35  52  22  15  3  

 46  2  66  51  4  70  53  9  68                        69  57  29  46  23  18  8  43  76  

 24  40  61  26  45  59  19  38  57                  34  49  24  12  2  37  77  72  62  

 17  81  32  10  74  30  15  76  34                  27  17  7  40  78  66  56  28  50

 

№ 9                                                               № 10

1  60  17  64  24  80  46  42  35                     1  14  27  53  34  58  69  75  38

 52  41  30  7  59  12  70  23  75                    31  60  66  74  37  5  18  26  52  

 65  22  81  47  40  36  2  58  18                    41  9  17  25  49  33  57  65  73  

 8  55  15  71  19  78  53  37  33                    51  30  56  64  77  45  8  16  22  

 48  43  32  3  61  14  66  25  77                    81  44  7  13  24  48  29  55  68

 72  20  76  54  38  31  9  56  13                    21  47  28  59  72  80  43  4  15  

 6  62  10  69  26  73  51  44  28                    71  79  40  6  12  20  46  32  63  

 50  39  34  5  57  16  68  21  79                    11  19  50  36  62  70  76  42  3  

 67  27  74  49  45  29  4  63  11                    61  67  78  39  2  10  23  54  35  

 

№ 11                                                             № 12

1  48  67  8  50  65  6  52  72                         1  81  61  51  11  41  71  31  21

 80  14  29  78  16  36  73  12  31                  58  48  10  45  70  33  20  5  80

 60  43  27  55  39  22  62  41  20                  14  44  67  30  19  9  79  60  47  

 46  66  4  53  68  2  51  70  9                        69  29  23  8  76  57  46  18  43  

 17  32  74  15  34  81  10  30  76                  27  7  78  56  50  17  40  66  28  

 42  25  63  37  21  58  44  23  56                  75  55  54  16  42  65  32  26  4  

 64  3  49  71  5  47  69  7  54                        53  13  39  64  36  25  6  74  59  

 35  77  11  33  79  18  28  75  13                  38  68  35  22  3  73  63  52  15  

 24  61  45  19  57  40  26  59  38                  34  24  2  77  62  49  12  37  72  

 

№ 13                                                             № 14

1  17  24  46  35  60  64  80  42                     1  27  34  69  38  14  53  58  75  

 65  81  40  2  18  22  47  36  58                    41  17  49  57  73  9  25  33  65  

 48  32  61  66  77  43  3  14  25                    81  7  24  29  68  44  13  48  55  

 6  10  26  51  28  62  69  73  44                    71  40  12  46  63  79  6  20  32  

 67  74  45  4  11  27  49  29  63                    61  78  2  23  35  67  39  10  54  

 52  30  59  70  75  41  7  12  23                    31  66  37  18  52  60  74  5  26  

 8  15  19  53  33  55  71  78  37                    51  56  77  8  22  30  64  45  16  

 72  76  38  9  13  20  54  31  56                    21  28  72  43  15  47  59  80  4

 50  34  57  68  79  39  5  16  21                    11  50  62  76  3  19  36  70  42  

 

№ 15                                                             № 16

1  67  50  6  72  48  8  65  52                         1  61  11  71  21  81  51  41  31

 60  27  39  62  20  43  55  22  41                  14  67  19  79  47  44  30  9  60  

 17  74  34  10  76  32  15  81  30                  27  78  50  40  28  7  56  17  66  

 64  49  5  69  54  3  71  47  7                        53  39  36  6  59  13  64  25  74  

 24  45  57  26  38  61  19  40  59                  34  2  62  12  72  24  77  49  37  

 80  29  16  73  31  14  78  36  12                  58  10  70  20  80  48  45  33  5  

 46  4  68  51  9  66  53  2  70                        69  23  76  46  43  29  8  57  18  

 42  63  21  44  56  25  37  58  23                  75  54  42  32  4  55  16  65  26  

 35  11  79  28  13  77  33  18  75                  38  35  3  63  15  68  22  73  52  

 

№ 17                                                             № 18

1  24  35  64  42  17  46  60  80                     1  34  38  53  75  27  69  14  58

 48  61  77  3  25  32  66  43  14                    81  24  68  13  55  7  29  44  48  

 67  45  11  49  63  74  4  27  29                    61  2  35  39  54  78  23  67  10  

 8  19  33  71  37  15  53  55  78                    51  77  22  64  16  56  8  30  45  

 50  57  79  5  21  34  68  39  16                    11  62  3  36  42  50  76  19  70  

 65  40  18  47  58  81  2  22  36                    41  49  73  25  65  17  57  9  33  

 6  26  28  69  44  10  51  62  73                    71  12  63  6  32  40  46  79  20  

 52  59  75  7  23  30  70  41  12                    31  37  52  74  26  66  18  60  5  

 72  38  13  54  56  76  9  20  31                    21  72  15  59  4  28  43  47  80  

 

№ 19                                                             № 20                                                            

1  50  72  8  52  67  6  48  65                         1  11  21  51  31  61  71  81  41  

 17  34  76  15  30  74  10  32  81                  27  50  28  56  66  78  40  7  17  

 24  57  38  19  59  45  26  61  40                  34  62  72  77  37  2  12  24  49  

 46  68  9  53  70  4  51  66  2                        69  76  43  8  18  23  46  29  57  

 35  79  13  33  75  11  28  77  18                  38  3  15  22  52  35  63  68  73  

 60  39  20  55  41  27  62  43  22                  14  19  47  30  60  67  79  44  9  

 64  5  54  71  7  49  69  3  47                        53  36  59  64  74  39  6  13  25  

 80  16  31  78  12  29  73  14  36                  58  70  80  45  5  10  20  48  33

 42  21  56  37  23  63  44  25  58                  75  42  4  16  26  54  32  55  65

 

№ 21                                                             № 22

1  35  42  46  80  24  64  17  60                     1  38  75  69  58  34  53  27  14

 67  11  63  4  29  45  49  74  27                    61  35  54  23  10  2  39  78  67  

 50  79  21  68  16  57  5  34  39                    11  3  42  76  70  62  36  50  19  

 6  28  44  51  73  26  69  10  62                    71  63  32  46  20  12  6  40  79  

 72  13  56  9  31  38  54  76  20                    21  15  4  43  80  72  59  28  47  

 48  77  25  66  14  61  3  32  43                    81  68  55  29  48  24  13  7  44  

 8  33  37  53  78  19  71  15  55                    51  22  16  8  45  77  64  56  30

 65  18  58  2  36  40  47  81  22                    41  73  65  57  33  49  25  17  9  

 52  75  23  70  12  59  7  30  41                    31  52  26  18  5  37  74  66  60

 

№ 23                                                             № 24

1  72  52  6  65  50  8  67  48                         1  21  31  71  41  11  51  61  81

 24  38  59  26  40  57  19  45  61                  34  72  37  12  49  62  77  2  24

 35  13  75  28  18  79  33  11  77                  38  15  52  63  73  3  22  35  68  

 64  54  7  69  47  5  71  49  3                        53  59  74  6  25  36  64  39  13  

 42  56  23  44  58  21  37  63  25                  75  4  26  32  65  42  16  54  55  

 17  76  30  10  81  34  15  74  32                  27  28  66  40  17  50  56  78  7  

 46  9  70  51  2  68  53  4  66                        69  43  18  46  57  76  8  23  29  

 60  20  41  62  22  39  55  27  43                  14  47  60  79  9  19  30  67  44  

 80  31  12  73  36  16  78  29  14                  58  80  5  20  33  70  45  10  48  

 

Возникает интересный вопрос: является ли количество пандиагональных квадратов в такой группе величиной, зависящей от порядка исходного квадрата так, что это можно выразить точной формулой. Например, можно ли сразу сказать, сколько пандиагональных квадратов будет в такой группе для пандиагонального квадрата 11-ого порядка или 15-ого порядка? Даже для пандиагонального квадрата 7-ого порядка я не построила подобную группу квадратов, потому что программки у меня нет, составлять её не хочется, а вручную применять преобразование тоже дело скучное. Предлагаю читателям построить такую группу для квадрата 7-ого порядка. Сколько квадратов будет в этой группе?

 

Осталось показать матрицу обратного преобразования для квадратов 9-ого порядка. Вот она (рис. 33):

 

a11

a22

a33

a44

a55

a66

a77

a88

a99

a29

a31

a42

a53

a64

a75

a86

a97

a18

a38

a49

a51

a62

a73

a84

a95

a16

a27

a47

a58

a69

a71

a82

a93

a14

a25

a36

a56

a67

a78

a89

a91

a12

a23

a34

a45

a65

a76

a87

a98

a19

a21

a32

a43

a54

a74

a85

a96

a17

a28

a39

a41

a52

a63

a83

a94

a15

a26

a37

a48

a59

a61

a72

a92

a13

a24

a35

a46

a57

a68

a79

a81

 

Рис. 33

 

Применение к квадрату № 24 в приведённой выше группе квадратов преобразования “строки-диагонали” даёт исходный квадрат № 1. Следовательно, применение к квадрату № 1 обратного преобразования должно дать квадрат № 24. Проверим (см. рис. 34):

 

Преобразование обратное преобразованию “строки-диагонали”

 

 

 

1

42

80

64

60

35

46

24

17

 

 

 

1

21

31

71

41

11

51

61

81

 

 

 

50

21

16

5

39

79

68

57

34

34

72

37

12

49

62

77

2

24

72

56

31

54

20

13

9

38

76

38

15

52

63

73

3

22

35

68

8

37

78

71

55

33

53

19

15

53

59

74

6

25

36

64

39

13

52

23

12

7

41

75

70

59

30

-->

75

4

26

32

65

42

16

54

55

67

63

29

49

27

11

4

45

74

 

27

28

66

40

17

50

56

78

7

6

44

73

69

62

28

51

26

10

69

43

18

46

57

76

8

23

29

48

25

14

3

43

77

66

61

32

14

47

60

79

9

19

30

67

44

65

58

36

47

22

18

2

40

81

58

80

5

20

33

70

45

10

48

 

 

Рис. 34

 

Всё правильно. А теперь покажу ещё один пример применения обратного преобразования к другому идеальному квадрату. При этом сменю раскраску в исходном квадрате, чтобы показать, что и обратное преобразование превращает все строки исходного квадрата в диагонали нового квадрата одного направления. Смотрите этот пример на рис. 35.

 

Преобразование обратное преобразованию “строки-диагонали”

 

 

 

45

22

56

51

1

71

30

16

77

 

 

 

45

63

27

23

41

59

55

19

37

 

 

 

20

63

40

8

69

46

14

75

34

34

58

78

15

39

29

74

26

16

58

38

27

64

53

6

79

32

12

32

49

73

10

3

36

81

71

14

17

78

28

23

57

43

2

72

49

2

47

65

70

7

52

51

69

6

73

35

15

61

41

21

67

47

9

-->

21

54

44

62

5

22

40

64

57

33

10

80

39

25

59

54

4

65

 

25

18

42

60

77

20

38

28

61

70

50

3

76

29

18

55

44

24

76

13

31

30

75

12

17

35

80

48

7

68

36

13

74

42

19

62

68

11

1

46

79

72

9

33

50

5

66

52

11

81

31

26

60

37

66

56

8

53

43

67

4

24

48

 

 

Рис. 35

 

Обратите внимание: теперь в главную диагональ превратилась нижняя строка исходного квадрата.

Очевидно, что полученный пандиагональный квадрат легко превращается в идеальный параллельным переносом на торе.

 

Покажу теперь, как преобразование “строки-диагонали” помогло мне перейти от стандартных качелей к нестандартным. Подробнее об этом смотрите в статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob2.htm

 

Сначала был построен методом стандартных качелей идеальный квадрат 15-ого порядка, изображённый на рис. 36 (копирую квадрат из указанной статьи).

 

96

48

206

120

16

170

133

85

37

154

224

8

62

192

144

40

157

214

14

68

182

147

99

51

198

116

30

166

125

88

54

201

108

26

180

121

80

43

160

217

4

74

188

137

102

163

220

7

64

194

143

92

57

204

111

18

176

135

76

35

207

114

21

168

131

90

31

155

223

10

67

184

149

98

47

215

13

70

187

139

104

53

197

117

24

171

123

86

45

151

107

27

174

126

78

41

165

211

5

73

190

142

94

59

203

1

65

193

145

97

49

209

113

17

177

129

81

33

161

225

23

167

132

84

36

153

221

15

61

185

148

100

52

199

119

75

181

140

103

55

202

109

29

173

122

87

39

156

213

11

179

128

77

42

159

216

3

71

195

136

95

58

205

112

19

191

150

91

50

208

115

22

169

134

83

32

162

219

6

63

124

89

38

152

222

9

66

183

146

105

46

200

118

25

172

138

101

60

196

110

28

175

127

79

44

158

212

12

69

186

82

34

164

218

2

72

189

141

93

56

210

106

20

178

130

 

                                                  Рис. 36

 

В этом квадрате начальная цепочка строится ходом шахматного коня. Затем я преобразовала этот квадрат, применив комбинацию двух преобразований: параллельный перенос на торе и “строки-диагонали”. В результате получился идеальный квадрат, изображённый на рис. 37 (снова копирую квадрат из указанной статьи).

 

1

93

27

44

70

46

168

162

194

205

121

213

147

119

85

37

65

56

174

158

187

200

131

219

143

112

80

11

99

23

167

154

193

210

126

212

139

118

90

6

92

19

43

75

51

198

132

224

145

106

78

12

104

25

31

63

57

179

160

181

140

116

84

8

97

20

41

69

53

172

155

191

204

128

217

4

103

30

36

62

49

178

165

186

197

124

223

150

111

77

42

74

55

166

153

192

209

130

211

138

117

89

10

91

18

176

159

188

202

125

221

144

113

82

5

101

24

38

67

50

208

135

216

137

109

88

15

96

17

34

73

60

171

152

184

149

115

76

3

102

29

40

61

48

177

164

190

196

123

222

9

98

22

35

71

54

173

157

185

206

129

218

142

110

86

45

66

47

169

163

195

201

122

214

148

120

81

2

94

28

175

151

183

207

134

220

136

108

87

14

100

16

33

72

59

203

127

215

146

114

83

7

95

26

39

68

52

170

161

189

141

107

79

13

105

21

32

64

58

180

156

182

199

133

225

 

                                                                     Рис. 37

 

В этом идеальном квадрате начальная цепочка не строится ходом шахматного коня и шаги качания качелей другие. Таким способом я перешла от стандартных качелей, которые относятся к квадратам с начальной цепочкой “ход конём”, к нестандартным качелям с другими шагами качания и с другой формой начальной цепочки. Этот приём был применён при построении идеальных квадратов всех нечётных порядков. Понятно, что между группами квадратов подобных квадрату с рис. 36 и квадратов подобных квадрату с рис. 37 существует взаимнооднозначное соответствие. Построив все квадраты одной группы, мы автоматически построим все квадраты второй группы, для этого достаточно применить к каждому квадрату первой группы комбинацию двух преобразований: параллельный перенос на торе и “строки-диагонали”.

 

И в заключение приведу матрицу преобразования “строки-диагонали” в общем виде для любого нечётного порядка n = 2m + 1, m = 2, 3, 4…

По этой общей матрице вы можете составить матрицу данного преобразования для любого конкретного порядка. Смотрите общую матрицу на рис. 38. В этой матрице k = (n + 1)/2 = m + 1.

 

а1,1

аk,k+1

аn,2

аk-1,k+2

аn-1,3

аk+3,k-2

а3,n-1

аk+2,k-1

а2,n

аk+1,k

аk+1,k+1

а1,2

аk,k+2

аn,3

аk-1,k+3

а4,n-1

аk+3,k-1

а3,n

аk+2,k

а2,1

а2,2

аk+1,k+2

а1,3

аk,k+3

аn,4

аk+4,k-1

а4,n

аk+3,k

а3,1

аk+2,k+1

аk+2,k+2

а2,3

аk+1,k+3

а1,4

аk,k+4

а5,n

аk+4,k

а4,1

аk+3,k+1

а3,2

а3,3

аk+2,k+3

а2,4

аk+1,k+4

а1,5

аk+5,k

а5,1

аk+4,k+1

а4,2

аk+3,k+2

аk-2,k-2

аn-2,n-1

аk-3,k-1

аn-3,n

аk-4,k

а1,n-4

аk,k-4

аn,n-3

аk-1,k-3

аn-1,n-2

аn-1,n-1

аk-2,k-1

аn-2,n

аk-3,k

аn-3,1

аk+1,k-4

а1,n-3

аk,k-3

аn,n-2

аk-1,k-2

аk-1,k-1

аn-1,n

аk-2,k

аn-2,1

аk-3,k+1

а2,n-3

аk+1,k-3

а1,n-2

аk,k-2

аn,n-1

аn,n

аk-1,k

аn-1,1

аk-2,k+1

аn-2,2

аk+2,k-3

а2,n-2

аk+1,k-2

а1,n-1

аk,k-1

аk,k

аn,1

аk-1,k+1

аn-1,2

аk-2,k+2

а3,n-2

аk+2,k-2

а2,n-1

аk+1,k-1

а1,n

 

Рис. 38

 

Пожалуй, покажу составление матрицы преобразования для квадратов порядка n = 11; в этом случае k = 6. Составляем матрицу по общей матрице, подставляя значения n и k. На рис. 39 вы видите готовую матрицу преобразования “строки-диагонали” для квадратов 11-ого порядка.

 

а1,1

а6,7

а11,2

а5,8

а10,3

а4,9

а9,4

а3,10

а8,5

а2,11

а7,6

а7,7

а1,2

а6,8

а11,3

а5,9

а10,4

а4,10

а9,5

а3,11

а8,6

а2,1

а2,2

а7,8

а1,3

а6,9

а11,4

а5,10

а10,5

а4,11

а9,6

а3,1

а8,7

а8,8

а2,3

а7,9

а1,4

а6,10

а11,5

а5,11

а10,6

а4,1

а9,7

а3,2

а3,3

а8,9

а2,4

а7,10

а1,5

а6,11

а11,6

а5,1

а10,7

а4,2

а9,8

а9,9

а3,4

а8,10

а2,5

а7,11

а1,6

а6,1

а11,7

а5,2

а10,8

а4,3

а4,4

а9,10

а3,5

а8,11

а2,6

а7,1

а1,7

а6,2

а11,8

а5,3

а10,9

а10,10

а4,5

а9,11

а3,6

а8,1

а2,7

а7,2

а1,8

а6,3

а11,9

а5,4

а5,5

а10,11

а4,6

а9,1

а3,7

а8,2

а2,8

а7,3

а1,9

а6,4

а11,10

а11,11

а5,6

а10,1

а4,7

а9,2

а3,8

а8,3

а2,9

а7,4

а1,10

а6,5

а6,6

а11,1

а5,7

а10,2

а4,8

а9,3

а3,9

а8,4

а2,10

а7,5

а1,11

 

Рис. 39

 

Предлагаю читателям составить матрицу обратного преобразования в общем виде.

 

***

 

Продолжение будет здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/preobraz2.htm

 

17 – 18 октября 2008 г.

г. Саратов

 

ДОБАВЛЕНИЕ (25 октября 2008 г):

 

На досуге я посмотрела, сколько пандиагональных квадратов 7-ого порядка содержится в группе, образуемой преобразованием “строки-диагонали”. Как уже сказано, программку для квадратов 7-ого порядка я не писала, поэтому действовала вручную. Но применяла не преобразование “строки-диагонали”, а обратное ему преобразование. Обратное преобразование применять очень просто, для досуга замечательное занятие (я, например, занималась этим во время рекламы по телевизору). Сейчас покажу подробно, как применять обратное преобразование, это годится для любого нечётного порядка n>3.

Конечно, преобразование можно применять, положив перед собой матрицу этого преобразования. А можно и без матрицы обойтись. Итак, на рис. 40 показан исходный идеальный квадрат 7-ого порядка (исходный квадрат может быть и не идеальным, а только пандиагональным).

 

Квадрат № 1

 

1

14

40

48

32

23

17

44

31

22

21

5

13

39

20

4

9

38

43

35

26

42

47

34

25

16

3

8

24

15

7

12

41

46

30

11

37

45

29

28

19

6

33

27

18

2

10

36

49

 

Рис. 40

 

Теперь показываю по шагам (рис. 41-47), как из этого квадрата получается новый пандиагональный квадрат применением преобразования обратного преобразованию “строки-диагонали”.

 

1

31

9

25

41

19

49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 41

 

Очевидно, что в первую строку записана главная диагональ исходного квадрата. Каждая следующая строка в новом квадрате начинается с числа, принадлежащего разломанной диагонали исходного квадрата, начинающейся с числа 1; вот эта диагональ: 1, 39, 35, 16, 12, 45, 27. А дальше строка заполняется из чисел, расположенных на диагонали, перпендикулярной данной разломанной диагонали. Смотрите на иллюстрации каждого шага, и вы всё поймёте. При достижении нижнего (правого) края квадрата надо продолжать диагональ с верхнего (левого) края квадрата, как если бы рядом с исходным квадратом были расположены его копии (как на магической плоскости).

 

1

31

9

25

41

19

49

39

20

47

7

29

10

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 42

 

1

31

9

25

41

19

49

39

20

47

7

29

10

23

35

8

24

37

18

48

5