ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ
Часть IV
Глава 11. М-преобразования
М-преобразования описываются по книге Ю. В. Чебракова “Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ” (С.–Петербург, 1995).
М-преобразования относятся к группе преобразований, связанных с перестановками строк и столбцов. Некоторые преобразования этой группы были рассмотрены в предыдущей части. В отличие от рассмотренных ранее преобразований перестановок строк и столбцов М-преобразования применимы к любым магическим квадратам порядка n>3.
М-преобразования различают двух видов.
Первый вид М-преобразований: перестановка двух строк с номерами i и n+1-i и последующая перестановка двух столбцов с теми же номерами.
Приведём пример. В качестве исходного квадрата возьмём магический квадрат 5-го порядка (рис. 1).
1 |
8 |
17 |
14 |
25 |
22 |
24 |
10 |
6 |
3 |
15 |
16 |
13 |
2 |
19 |
18 |
12 |
4 |
20 |
11 |
9 |
5 |
21 |
23 |
7 |
Рис. 1
Понятно, что преобразование выполняется в два этапа: сначала перестановка строк, затем перестановка столбцов с теми же номерами. Можно выполнять преобразование в обратном порядке: сначала переставить столбцы, а затем строки с теми же номерами. Будем начинать с перестановки строк.
В квадрате 5-го порядка существует две пары строк с симметричными номерами: первая и пятая, вторая и четвёртая. Выберем для перестановки вторую и четвёртую строки. Обратите внимание на то, что квадрат, получающийся после первого этапа, не является магическим, в нём нет магической суммы чисел в главных диагоналях, то есть он является полумагическим. На рис. 2 слева показан полумагический квадрат, полученный в результате выполнения первого этапа – перестановки в квадрате с рис. 1 второй и четвёртой строк, а справа изображён магический квадрат, полученный в результате выполнения второго этапа – перестановки второго и четвёртого столбцов.
1 |
8 |
17 |
14 |
25 |
|
1 |
14 |
17 |
8 |
25 |
18 |
12 |
4 |
20 |
11 |
18 |
20 |
4 |
12 |
11 |
|
15 |
16 |
13 |
2 |
19 |
à |
15 |
2 |
13 |
16 |
19 |
22 |
24 |
10 |
6 |
3 |
|
22 |
6 |
10 |
24 |
3 |
9 |
5 |
21 |
23 |
7 |
9 |
23 |
21 |
5 |
7 |
Рис. 2
Покажу ещё один пример – для магического квадрата 6-го порядка. Исходный квадрат изображён на рис. 3.
29 |
7 |
6 |
20 |
25 |
24 |
9 |
32 |
1 |
27 |
23 |
19 |
31 |
3 |
8 |
22 |
21 |
26 |
2 |
34 |
33 |
11 |
16 |
15 |
36 |
5 |
28 |
18 |
14 |
10 |
4 |
30 |
35 |
13 |
12 |
17 |
Рис. 3
Понятно, что в квадрате 6-го порядка существует три пары симметричных строк. Выберем для перестановки вторую и пятую строки. На рис. 4 вы видите два квадрата, левый квадрат получен в результате первого этапа преобразования, правый квадрат получен в результате второго этапа.
29 |
7 |
6 |
20 |
25 |
24 |
|
29 |
25 |
6 |
20 |
7 |
24 |
36 |
5 |
28 |
18 |
14 |
10 |
36 |
14 |
28 |
18 |
5 |
10 |
|
31 |
3 |
8 |
22 |
21 |
26 |
|
31 |
21 |
8 |
22 |
3 |
26 |
2 |
34 |
33 |
11 |
16 |
15 |
à |
2 |
16 |
33 |
11 |
34 |
15 |
9 |
32 |
1 |
27 |
23 |
19 |
|
9 |
23 |
1 |
27 |
32 |
19 |
4 |
30 |
35 |
13 |
12 |
17 |
4 |
12 |
35 |
13 |
30 |
17 |
Рис. 4
Второй вид М-преобразований: перестановка двух пар строк, имеющих соответственно номера i, j и (n+1-i), (n+1-j) и последующая перестановка двух пар столбцов с теми же номерами.
Рассмотрим данное преобразование на примере того же магического квадрата 6-го порядка с рис. 3. Выберем для перестановки следующие две пары строк: первую и третью, шестую и четвёртую. Обратите внимание: здесь переставляются не симметричные строки между собой (как в М-преобразованиях первого вида), а строка первая переставляется со строкой третьей и соответственно переставляется пара симметричных данным строк – шестая и четвёртая.
На рис. 5 показан первый этап преобразования. Слева изображён исходный квадрат, справа – квадрат, полученный в результате перестановки строк.
29 |
7 |
6 |
20 |
25 |
24 |
|
31 |
3 |
8 |
22 |
21 |
26 |
9 |
32 |
1 |
27 |
23 |
19 |
9 |
32 |
1 |
27 |
23 |
19 |
|
31 |
3 |
8 |
22 |
21 |
26 |
|
29 |
7 |
6 |
20 |
25 |
24 |
2 |
34 |
33 |
11 |
16 |
15 |
à |
4 |
30 |
35 |
13 |
12 |
17 |
36 |
5 |
28 |
18 |
14 |
10 |
|
36 |
5 |
28 |
18 |
14 |
10 |
4 |
30 |
35 |
13 |
12 |
17 |
2 |
34 |
33 |
11 |
16 |
15 |
Рис. 5
Здесь случайно промежуточный квадрат оказался магическим.
На рис. 6 показан второй этап преобразования – перестановка столбцов с теми же номерами.
31 |
3 |
8 |
22 |
21 |
26 |
|
8 |
3 |
31 |
26 |
21 |
22 |
9 |
32 |
1 |
27 |
23 |
19 |
1 |
32 |
9 |
19 |
23 |
27 |
|
29 |
7 |
6 |
20 |
25 |
24 |
|
6 |
7 |
29 |
24 |
25 |
20 |
4 |
30 |
35 |
13 |
12 |
17 |
à |
35 |
30 |
4 |
17 |
12 |
13 |
36 |
5 |
28 |
18 |
14 |
10 |
|
28 |
5 |
36 |
10 |
14 |
18 |
2 |
34 |
33 |
11 |
16 |
15 |
33 |
34 |
2 |
15 |
16 |
11 |
Рис. 6
В книге приводится формула, по которой можно посчитать, сколько квадратов будет в группе квадратов, полученных М-преобразованиями обоих видов из одного магического квадрата порядка n, считая исходный квадрат. Вот эта формула (q – количество квадратов в группе, образованной М-преобразованиями):
q = [n/2]*{(2[n/2] - 2)!!}
(символ а!! означает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих числа а и совпадающих с ним по чётности). Ниже приводится таблица значений q для магических квадратов порядков 4 – 13:
n |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
q |
4 |
4 |
24 |
24 |
192 |
192 |
1920 |
1920 |
23040 |
23040 |
(таблица взята из указанной книги).
Для магического квадрата любого порядка можно вычислить по приведённой формуле количество квадратов, которые получаются с помощью М-преобразований обоих видов.
Покажу для примера группу, образуемую М-преобразованиями обоих видов, для магического квадрата 4-го порядка. Вместе с исходным квадратом в этой группе будет 4 квадрата. Значит, новых квадратов может быть получено только 3.
Возьмём в качестве исходного квадрата магический квадрат, изображённый на рис. 7.
1 |
2 |
15 |
16 |
12 |
14 |
3 |
5 |
13 |
7 |
10 |
4 |
8 |
11 |
6 |
9 |
Рис. 7
На рис. 8 вы видите квадрат, полученный из данного квадрата М-преобразованием первого вида.
9 |
11 |
6 |
8 |
5 |
14 |
3 |
12 |
4 |
7 |
10 |
13 |
16 |
2 |
15 |
1 |
Рис. 8
На рис. 9 и рис. 10 изображены квадраты, полученные из данного квадрата М-преобразованиями второго вида.
14 |
12 |
5 |
3 |
2 |
1 |
16 |
15 |
11 |
8 |
9 |
6 |
7 |
13 |
4 |
10 |
Рис. 9
14 |
5 |
12 |
3 |
11 |
9 |
8 |
6 |
2 |
16 |
1 |
15 |
7 |
4 |
13 |
10 |
Рис. 10
Интересно заметить, что два рядом стоящих порядка – чётный и нечётный – имеют одинаковое количество квадратов в группе, образуемой М-преобразованиями (см. таблицу). Если вы возьмёте магический квадрат 5-го порядка, то он тоже образует группу из 4 квадратов (считая его самого) с помощью М-преобразований. Это объясняется тем, что в формуле для вычисления q присутствует целая часть n/2, а эта величина будет одинакова для n и для n+1, если n чётно.
Следует обратить внимание на то, что М-преобразования не изменяют наборы чисел ни в строках, ни в столбцах, ни в главных диагоналях. Поэтому М-преобразования сохраняют те свойства исходного квадрата, которые зависят от наборов чисел в строках, в столбцах и в главных диагоналях. Например, если исходный квадрат бимагический, то все квадраты, полученные из него М-преобразованиями, тоже будут бимагическими.
Очевидно, что М-преобразования обоих видов сохраняют ассоциативность квадрата. Возьмём для примера идеальный квадрат 8-го порядка, изображённый на рис. 11.
1 |
56 |
49 |
47 |
42 |
31 |
26 |
8 |
62 |
11 |
14 |
20 |
21 |
36 |
37 |
59 |
4 |
30 |
27 |
46 |
43 |
53 |
52 |
5 |
63 |
33 |
40 |
17 |
24 |
10 |
15 |
58 |
7 |
50 |
55 |
41 |
48 |
25 |
32 |
2 |
60 |
13 |
12 |
22 |
19 |
38 |
35 |
61 |
6 |
28 |
29 |
44 |
45 |
51 |
54 |
3 |
57 |
39 |
34 |
23 |
18 |
16 |
9 |
64 |
Рис. 11
Совершенно понятно, что если мы выполним М-преобразование первого вида, то есть переставим симметричные строки и затем симметричные столбцы с теми же номерами, ассоциативность квадрата не нарушится. Покажем применение к данному идеальному квадрату М-преобразования второго вида. Выберем для перестановки следующие пары строк: вторую, третью и соответственно симметричные строки – седьмую и шестую. На рис. 12 показан первый этап преобразования, слева – исходный квадрат, справа – результат выполнения первого этапа.
1 |
56 |
49 |
47 |
42 |
31 |
26 |
8 |
|
1 |
56 |
49 |
47 |
42 |
31 |
26 |
8 |
62 |
11 |
14 |
20 |
21 |
36 |
37 |
59 |
4 |
30 |
27 |
46 |
43 |
53 |
52 |
5 |
|
4 |
30 |
27 |
46 |
43 |
53 |
52 |
5 |
|
62 |
11 |
14 |
20 |
21 |
36 |
37 |
59 |
63 |
33 |
40 |
17 |
24 |
10 |
15 |
58 |
|
63 |
33 |
40 |
17 |
24 |
10 |
15 |
58 |
7 |
50 |
55 |
41 |
48 |
25 |
32 |
2 |
à |
7 |
50 |
55 |
41 |
48 |
25 |
32 |
2 |
60 |
13 |
12 |
22 |
19 |
38 |
35 |
61 |
|
6 |
28 |
29 |
44 |
45 |
51 |
54 |
3 |
6 |
28 |
29 |
44 |
45 |
51 |
54 |
3 |
60 |
13 |
12 |
22 |
19 |
38 |
35 |
61 |
|
57 |
39 |
34 |
23 |
18 |
16 |
9 |
64 |
57 |
39 |
34 |
23 |
18 |
16 |
9 |
64 |
Рис. 12
Очевидно, что квадрат, полученный после первого этапа, не утратил ассоциативность. Завершаем преобразование, выполняем перестановку столбцов с теми же номерами (рис. 13):
1 |
56 |
49 |
47 |
42 |
31 |
26 |
8 |
|
1 |
49 |
56 |
47 |
42 |
26 |
31 |
8 |
4 |
30 |
27 |
46 |
43 |
53 |
52 |
5 |
4 |
27 |
30 |
46 |
43 |
52 |
53 |
5 |
|
62 |
11 |
14 |
20 |
21 |
36 |
37 |
59 |
|
62 |
14 |
11 |
20 |
21 |
37 |
36 |
59 |
63 |
33 |
40 |
17 |
24 |
10 |
15 |
58 |
|
63 |
40 |
33 |
17 |
24 |
15 |
10 |
58 |
7 |
50 |
55 |
41 |
48 |
25 |
32 |
2 |
à |
7 |
55 |
50 |
41 |
48 |
32 |
25 |
2 |
6 |
28 |
29 |
44 |
45 |
51 |
54 |
3 |
|
6 |
29 |
28 |
44 |
45 |
54 |
51 |
3 |
60 |
13 |
12 |
22 |
19 |
38 |
35 |
61 |
60 |
12 |
13 |
22 |
19 |
35 |
38 |
61 |
|
57 |
39 |
34 |
23 |
18 |
16 |
9 |
64 |
57 |
34 |
39 |
23 |
18 |
9 |
16 |
64 |
Рис. 13
Окончательный результат тоже является ассоциативным квадратом. А вот пандиагональность квадрата М-преобразования не сохраняют. Это видно на данном примере.
Глава 12. Преобразования “плюс-минус …”
Преобразования “плюс-минус …” я обнаружила, работая над составлением банка базовых пандиагональных квадратов 5-го порядка. Смотрите об этом в статье:
http://www.klassikpoez.narod.ru/pandiagon.htm
Это было в самом начале возобновления работы над магическими квадратами – в июле 2007 г. Затем данные преобразования использовались мной во многих статьях. Они оказались применимы к любым магическим и даже полумагическим квадратам. Если вы будете читать мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”, найдёте очень много преобразований “плюс-минус …”.
Но покажу, как всё начиналось. Сравнивая имеющиеся у меня несколько пандиагональных квадратов 5-го порядка, найденных в Сети, я обнаружила, что два из них очень интересно связаны между собой. Так и родилось самое первое преобразование “плюс-минус 10”. Далее привожу цитату из указанной статьи.
Пусть матрица исходного пандиагонального квадрата 5-го порядка А имеет вид:
a11 |
a12 |
а13 |
а14 |
а15 |
а21 |
а22 |
а23 |
а24 |
а25 |
а31 |
а32 |
а33 |
а34 |
а35 |
а41 |
а42 |
а43 |
а44 |
а45 |
а51 |
а52 |
а53 |
а54 |
а55 |
Тогда матрица квадрата В=f(А), полученного преобразованием “плюс-минус 10”, имеет вид:
a11 |
a12 |
а13 |
а14+10 |
а15 –10 |
а21 |
а22+10 |
а23 –10 |
а24 |
а25 |
а31 –10 |
а32 |
а33 |
а34 |
а35+10 |
а41 |
а42 |
а43+10 |
а44 –10 |
а45 |
а51+10 |
а52 –10 |
а53 |
а54 |
а55 |
Увидела я это преобразование, сравнивая два базовых квадрата. На этом примере и покажу преобразование. Исходный квадрат – это базовый квадрат № 1, только с переставленными строками (это делает его ещё и ассоциативным!). На рис. 14 слева показан базовый квадрат № 1, а справа – квадрат, полученный из него описанным преобразованием, – это базовый квадрат № 11.
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
|
1 |
15 |
24 |
18 |
7 |
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
|
23 |
17 |
6 |
5 |
14 |
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
à |
10 |
4 |
13 |
22 |
16 |
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
|
12 |
21 |
20 |
9 |
3 |
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
|
19 |
8 |
2 |
11 |
25 |
Рис. 14
Это преобразование сохраняет не только пандиагональность квадрата, но и ассоциативность!
Вот так было открыто первое преобразование “плюс-минус …”. Когда я писала эту статью, ещё не пользовалась термином “идеальные квадраты”. Просто рассматривала квадраты пандиагональные и ассоциативные, которые как раз и являются идеальными. Как видите, первое преобразование “плюс-минус …” относится именно к идеальным квадратам, то есть оно переводит идеальный квадрат в идеальный, сохраняет и свойство ассоциативности, и свойство пандиагональности.
А вот пример преобразования “плюс-минус 10” (из той же статьи), которое применяется к пандиагональному квадрату, не являющемуся ассоциативным (рис. 15).
1 |
22 |
14 |
8 |
20 |
|
1 |
12 |
24 |
18 |
10 |
9 |
18 |
5 |
21 |
12 |
|
19 |
8 |
5 |
11 |
22 |
25 |
11 |
7 |
19 |
3 |
à |
15 |
21 |
17 |
9 |
3 |
17 |
4 |
23 |
15 |
6 |
|
7 |
4 |
13 |
25 |
16 |
13 |
10 |
16 |
2 |
24 |
|
23 |
20 |
6 |
2 |
14 |
Рис. 15
В дальнейшем я стала изображать матрицу преобразований “плюс-минус …” сокращённо, опуская первоначальные элементы матрицы aij. Так, например, матрица преобразования “плюс-минус 10”, показанного на рис. 15, изображается следующим образом (рис. 16):
|
-10 |
+10 |
+10 |
-10 |
+10 |
-10 |
|
-10 |
+10 |
-10 |
+10 |
+10 |
-10 |
|
-10 |
|
-10 |
+10 |
+10 |
+10 |
+10 |
-10 |
|
-10 |
Рис. 16
Получив такую матрицу преобразования и исходный квадрат, к которому данное преобразование надо применить, вы поступаете очень просто: накладываете эту матрицу на исходный квадрат, выполняете действия сложения и вычитания с числами, попавшими в закрашенные ячейки (в этих ячейках указано, что надо сделать: прибавить число 10 или вычесть его из числа соответствующей ячейки исходного квадрата), и новый магический квадрат готов.
Интересен тот факт, что матрицу преобразования “плюс-минус …”, если это преобразование сохраняет пандиагональность квадрата, можно подвергать преобразованиям параллельного переноса на торе. Приведу пример из статьи:
http://www.klassikpoez.narod.ru/pan5.htm
На рис. 17 показано преобразование “плюс-минус 10”, сохраняющее пандиагональность квадрата. На рис. 18 вы видите матрицу этого преобразования.
1 |
8 |
25 |
14 |
17 |
|
1 |
18 |
25 |
14 |
7 |
15 |
19 |
2 |
6 |
23 |
|
15 |
9 |
2 |
16 |
23 |
7 |
21 |
13 |
20 |
4 |
à |
17 |
21 |
13 |
10 |
4 |
18 |
5 |
9 |
22 |
11 |
|
8 |
5 |
19 |
22 |
11 |
24 |
12 |
16 |
3 |
10 |
|
24 |
12 |
6 |
3 |
20 |
Рис. 17
|
+10 |
|
|
-10 |
|
-10 |
|
+10 |
|
+10 |
|
|
-10 |
|
-10 |
|
+10 |
|
|
|
|
-10 |
|
+10 |
Рис. 18
А теперь применим к этой матрице преобразование параллельного переноса на торе, мы получим матрицу, изображённую на рис. 19.
|
|
-10 |
|
+10 |
|
+10 |
|
|
-10 |
|
-10 |
|
+10 |
|
+10 |
|
|
-10 |
|
-10 |
|
+10 |
|
|
Рис. 19
Обратите внимание: преобразование с новой матрицей сохраняет не только пандиагональность, но и ассоциативность квадрата, то есть его можно применить к идеальному квадрату и получить новый идеальный квадрат.
И вот пример применения преобразования, заданного этой матрицей [из той же статьи] (рис. 20):
1 |
23 |
19 |
15 |
7 |
|
1 |
23 |
9 |
15 |
17 |
14 |
10 |
2 |
21 |
18 |
|
14 |
20 |
2 |
21 |
8 |
22 |
16 |
13 |
9 |
5 |
à |
22 |
6 |
13 |
19 |
5 |
8 |
4 |
25 |
17 |
11 |
|
18 |
4 |
25 |
7 |
11 |
20 |
12 |
6 |
3 |
24 |
|
10 |
12 |
16 |
3 |
24 |
Рис. 20
Приведу пример применения этого преобразования к идеальному квадрату (рис. 21):
1 |
23 |
20 |
14 |
7 |
|
1 |
23 |
10 |
14 |
17 |
15 |
9 |
2 |
21 |
18 |
|
15 |
19 |
2 |
21 |
8 |
22 |
16 |
13 |
10 |
4 |
à |
22 |
6 |
13 |
20 |
4 |
8 |
5 |
24 |
17 |
11 |
|
18 |
5 |
24 |
7 |
11 |
19 |
12 |
6 |
3 |
25 |
|
9 |
12 |
16 |
3 |
25 |
Рис. 21
Затем я обнаружила, что преобразование может быть не только “плюс-минус 10”, а, например, “плюс-минус 5” или “плюс-минус 1”. Пример присутствует здесь. Посмотрите на два квадрата, изображённые слева на рис. 20 и рис. 21. На рис. 20 квадрат пандиагональный, но не ассоциативный, а на рис. 21 квадрат идеальный, то есть обладает обоими этими свойствами. И эти квадраты связаны между собой преобразованием “плюс-минус 1”, что сразу бросается в глаза при визуальном сравнении квадратов. На рис. 22 показана матрица преобразования “плюс-минус 1”, связывающего эти квадраты.
|
|
+1 |
-1 |
|
+1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
+1 |
-1 |
|
+1 |
-1 |
|
|
-1 |
|
|
|
+1 |
Рис. 22
Перенеся данную матрицу на торе, получаем матрицу нового преобразования “плюс-минус 1”, которое сохраняет и пандиагональность, и ассоциативность квадрата, то есть переводит идеальный квадрат в идеальный. Эту матрицу вы видите на рис. 23.
|
|
|
+1 |
-1 |
|
+1 |
-1 |
|
|
-1 |
|
|
|
+1 |
|
|
+1 |
-1 |
|
+1 |
-1 |
|
|
|
Рис. 23
Любое преобразование “плюс-минус …” легко “обратить”, то есть составить матрицу обратного преобразования. Для этого достаточно в матрице преобразования все плюсы заменить на минусы, и наоборот – все минусы заменить на плюсы. На рис. 24 вы видите матрицу преобразования, обратного преобразованию, заданному матрицей с рис. 23.
|
|
|
-1 |
+1 |
|
-1 |
+1 |
|
|
+1 |
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
+1 |
|
-1 |
+1 |
|
|
|
Рис. 24
Посмотрите пример применения преобразования, заданного матрицей на рис. 24, к идеальному квадрату (рис. 25):
21 |
15 |
2 |
19 |
8 |
|
21 |
15 |
2 |
18 |
9 |
3 |
20 |
5 |
25 |
12 |
|
3 |
19 |
6 |
25 |
12 |
9 |
22 |
13 |
4 |
17 |
à |
10 |
22 |
13 |
4 |
16 |
14 |
1 |
21 |
6 |
23 |
|
14 |
1 |
20 |
7 |
23 |
18 |
7 |
24 |
11 |
5 |
|
17 |
8 |
24 |
11 |
5 |
Рис. 25
Очевидно, что если вы примените к квадрату, изображённому на рис. 25 справа, преобразование, заданное матрицей с рис. 23, то получите квадрат, изображённый на рис. 25 слева.
Все показанные выше преобразования “плюс-минус …” простые. Простыми я назвала такие преобразования “плюс-минус …”, в которых участвует только одно число. А затем я обнаружила комбинированные преобразования “плюс-минус …”. Это такие преобразования, в которых участвует более одного числа. Покажу пример опять для квадрата 5-го порядка. Это пример из статьи http://www.klassikpoez.narod.ru/bank.htm
На рис. 26 изображена матрица комбинированного преобразования. Как видите, в этом преобразовании участвуют три числа – 5, 10 и 15.
|
–10 |
+15 |
|
–5 |
|
–5 |
|
–10 |
+15 |
–10 |
+15 |
|
–5 |
|
–5 |
|
–10 |
+15 |
|
+15 |
|
–5 |
|
–10 |
Рис. 26
На рис. 27 показано применение комбинированного преобразования, заданного матрицей на рис. 26, к пандиагональному квадрату. В результате получен новый пандиагональный квадрат.
1 |
18 |
9 |
15 |
22 |
|
1 |
8 |
24 |
15 |
17 |
14 |
25 |
2 |
16 |
8 |
|
14 |
20 |
2 |
6 |
23 |
17 |
6 |
13 |
24 |
5 |
à |
7 |
21 |
13 |
19 |
5 |
23 |
4 |
20 |
7 |
11 |
|
18 |
4 |
10 |
22 |
11 |
10 |
12 |
21 |
3 |
19 |
|
25 |
12 |
16 |
3 |
9 |
Рис. 27
Легко видеть, что данное преобразование не сохраняет свойство ассоциативности.
Когда я описывала построение идеальных квадратов 5-го порядка методом качелей, мне открылся новый смысл преобразований “плюс-минус …”. Читайте об этом в следующей статье:
http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob4.htm
А теперь покажу несколько примеров применения преобразования “плюс-минус …” из разных статей.
Пример 1. Простое преобразование “плюс-минус 16”. Матрица преобразования показана на рис. 28.
|
|
+16 |
+16 |
-16 |
-16 |
|
|
|
|
-16 |
-16 |
+16 |
+16 |
|
|
|
|
+16 |
+16 |
-16 |
-16 |
|
|
|
|
-16 |
-16 |
+16 |
+16 |
|
|
|
|
+16 |
+16 |
-16 |
-16 |
|
|
|
|
-16 |
-16 |
+16 |
+16 |
|
|
|
|
+16 |
+16 |
-16 |
-16 |
|
|
|
|
-16 |
-16 |
+16 |
+16 |
|
|
Рис. 28
На рис. 29 показано применение этого преобразования. Оно применяется к пандиагональному квадрату 8-го порядка, построенному по алгоритму Франклина. В результате получается новый пандиагональный квадрат подобный исходному.
1 |
16 |
25 |
24 |
41 |
40 |
49 |
64 |
|
1 |
16 |
41 |
40 |
25 |
24 |
49 |
64 |
59 |
54 |
35 |
46 |
19 |
30 |
11 |
6 |
59 |
54 |
19 |
30 |
35 |
46 |
11 |
6 |
|
8 |
9 |
32 |
17 |
48 |
33 |
56 |
57 |
8 |
9 |
48 |
33 |
32 |
17 |
56 |
57 |
|
60 |
53 |
36 |
45 |
20 |
29 |
12 |
5 |
60 |
53 |
20 |
29 |
36 |
45 |
12 |
5 |
|
2 |
15 |
26 |
23 |
42 |
39 |
50 |
63 |
à |
2 |
15 |
42 |
39 |
26 |
23 |
50 |
63 |
61 |
52 |
37 |
44 |
21 |
28 |
13 |
4 |
|
61 |
52 |
21 |
28 |
37 |
44 |
13 |
4 |
7 |
10 |
31 |
18 |
47 |
34 |
55 |
58 |
7 |
10 |
47 |
34 |
31 |
18 |
55 |
58 |
|
62 |
51 |
38 |
43 |
22 |
27 |
14 |
3 |
62 |
51 |
22 |
27 |
38 |
43 |
14 |
3 |
Рис. 29
Легко увидеть, что данное преобразование равносильно перестановке столбцов, третьего с пятым, четвёртого с шестым.
Пример 2. Комбинированное преобразование для дьявольски полумагических квадратов Франклина 4-го порядка. Матрицу преобразования вы видите на рис. 30.
|
+4 |
-4 |
|
+1 |
-5 |
+5 |
-1 |
|
+4 |
-4 |
|
-1 |
-3 |
+3 |
+1 |
Рис. 30
Обратите внимание: преобразование не изменяет суммы чисел в строках и столбцах квадрата, а суммы чисел во всех диагоналях (как главных, так и разломанных) изменяет на 8, причём в одних диагоналях сумма увеличивается на 8, а в других - уменьшается на 8. В результате такого преобразования квадрат остаётся дьявольски полумагическим. На рис. 31 показано применение этого преобразования.
1 |
8 |
9 |
16 |
|
1 |
12 |
5 |
16 |
14 |
11 |
6 |
3 |
15 |
6 |
11 |
2 |
|
4 |
5 |
12 |
13 |
à |
4 |
9 |
8 |
13 |
15 |
10 |
7 |
2 |
|
14 |
7 |
10 |
3 |
Рис. 31
Пример 3. Комбинированное преобразование для дьявольски полумагических квадратов Франклина 8-го порядка. Матрица преобразования изображена на рис. 32.
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-11 |
+11 |
-11 |
+11 |
-11 |
+11 |
-11 |
+11 |
+9 |
-9 |
+9 |
-9 |
+9 |
-9 |
+9 |
-9 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-3 |
+3 |
-3 |
+3 |
-3 |
+3 |
-3 |
+3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
Рис. 32
На рис. 33 показано применение этого преобразования. Редкий случай преобразования “плюс-минус …”, когда изменяются числа во всех ячейках исходного квадрата.
1 |
16 |
17 |
32 |
33 |
48 |
49 |
64 |
|
2 |
15 |
18 |
31 |
34 |
47 |
50 |
63 |
63 |
50 |
47 |
34 |
31 |
18 |
15 |
2 |
64 |
49 |
48 |
33 |
32 |
17 |
16 |
1 |
|
14 |
3 |
30 |
19 |
46 |
35 |
62 |
51 |
3 |
14 |
19 |
30 |
35 |
46 |
51 |
62 |
|
52 |
61 |
36 |
45 |
20 |
29 |
4 |
13 |
61 |
52 |
45 |
36 |
29 |
20 |
13 |
4 |
|
5 |
12 |
21 |
28 |
37 |
44 |
53 |
60 |
à |
6 |
11 |
22 |
27 |
38 |
43 |
54 |
59 |
59 |
54 |
43 |
38 |
27 |
22 |
11 |
6 |
|
60 |
53 |
44 |
37 |
28 |
21 |
12 |
5 |
10 |
7 |
26 |
23 |
42 |
39 |
58 |
55 |
7 |
10 |
23 |
26 |
39 |
42 |
55 |
58 |
|
56 |
57 |
40 |
41 |
24 |
25 |
8 |
9 |
57 |
56 |
41 |
40 |
25 |
24 |
9 |
8 |
Рис. 33
Пример 4. Комбинированное преобразование, сохраняющее ассоциативность квадрата. Матрицу преобразования вы видите на рис. 34. В преобразовании участвуют два числа – 3 и 6.
|
-6 |
-3 |
|
+3 |
-3 |
|
+3 |
+6 |
+6 |
|
-6 |
-3 |
|
+3 |
-3 |
|
+3 |
+3 |
+6 |
|
-6 |
-3 |
|
+3 |
-3 |
|
|
+3 |
+6 |
|
-6 |
-3 |
|
+3 |
-3 |
-3 |
|
+3 |
+6 |
|
-6 |
-3 |
|
+3 |
+3 |
-3 |
|
+3 |
+6 |
|
-6 |
-3 |
|
|
+3 |
-3 |
|
+3 |
+6 |
|
-6 |
-3 |
-3 |
|
+3 |
-3 |
|
+3 |
+6 |
|
-6 |
-6 |
-3 |
|
+3 |
-3 |
|
+3 |
+6 |
|
Рис. 34
На рис. 35 показано применение преобразования, заданного матрицей с рис. 34.
5 |
52 |
18 |
56 |
22 |
69 |
35 |
73 |
39 |
|
5 |
46 |
15 |
56 |
25 |
66 |
35 |
76 |
45 |
48 |
14 |
61 |
27 |
65 |
31 |
78 |
44 |
1 |
54 |
14 |
55 |
24 |
65 |
34 |
75 |
44 |
4 |
|
10 |
57 |
23 |
70 |
36 |
74 |
40 |
6 |
53 |
13 |
63 |
23 |
64 |
33 |
74 |
43 |
3 |
53 |
|
62 |
19 |
66 |
32 |
79 |
45 |
2 |
49 |
15 |
62 |
22 |
72 |
32 |
73 |
42 |
2 |
52 |
12 |
|
24 |
71 |
28 |
75 |
41 |
7 |
54 |
11 |
58 |
à |
21 |
71 |
31 |
81 |
41 |
1 |
51 |
11 |
61 |
67 |
33 |
80 |
37 |
3 |
50 |
16 |
63 |
20 |
|
70 |
30 |
80 |
40 |
9 |
50 |
10 |
60 |
20 |
29 |
76 |
42 |
8 |
46 |
12 |
59 |
25 |
72 |
29 |
79 |
39 |
8 |
49 |
18 |
59 |
19 |
69 |
|
81 |
38 |
4 |
51 |
17 |
55 |
21 |
68 |
34 |
78 |
38 |
7 |
48 |
17 |
58 |
27 |
68 |
28 |
|
43 |
9 |
47 |
13 |
60 |
26 |
64 |
30 |
77 |
37 |
6 |
47 |
16 |
57 |
26 |
67 |
36 |
77 |
Рис. 35
Пример 5. Простое преобразование, сохраняющее ассоциативность квадрата. Матрица преобразования показана на рис. 36.
|
-4 |
+4 |
|
-4 |
|
|
+4 |
|
+4 |
-4 |
|
+4 |
|
|
-4 |
+4 |
|
|
-4 |
|
+4 |
-4 |
|
-4 |
|
|
+4 |
|
-4 |
+4 |
|
|
-4 |
+4 |
|
-4 |
|
|
+4 |
|
+4 |
-4 |
|
+4 |
|
|
-4 |
+4 |
|
|
-4 |
|
+4 |
-4 |
|
-4 |
|
|
+4 |
|
-4 |
+4 |
|
Рис. 36
На рис. 37 показано применение данного преобразования к ассоциативному квадрату 8-го порядка, построенному методом квадратных рамок.
1 |
58 |
22 |
45 |
44 |
19 |
63 |
8 |
|
1 |
54 |
26 |
45 |
40 |
19 |
63 |
12 |
16 |
23 |
59 |
36 |
37 |
62 |
18 |
9 |
16 |
27 |
55 |
36 |
41 |
62 |
18 |
5 |
|
24 |
15 |
35 |
60 |
61 |
38 |
10 |
17 |
28 |
15 |
35 |
56 |
61 |
42 |
6 |
17 |
|
25 |
34 |
14 |
53 |
52 |
11 |
39 |
32 |
21 |
34 |
14 |
57 |
52 |
7 |
43 |
32 |
|
33 |
26 |
54 |
13 |
12 |
51 |
31 |
40 |
à |
33 |
22 |
58 |
13 |
8 |
51 |
31 |
44 |
48 |
55 |
27 |
4 |
5 |
30 |
50 |
41 |
|
48 |
59 |
23 |
4 |
9 |
30 |
50 |
37 |
56 |
47 |
3 |
28 |
29 |
6 |
42 |
49 |
60 |
47 |
3 |
24 |
29 |
10 |
38 |
49 |
|
57 |
2 |
46 |
21 |
20 |
43 |
7 |
64 |
53 |
2 |
46 |
25 |
20 |
39 |
11 |
64 |
Рис. 37
Пример 6. Комбинированное преобразование для магического квадрата 10-го порядка, построенного методом четырёх квадратов. Матрица преобразования изображена на рис. 38.
|
+75 |
|
….. |
-75 |
+25 |
….. |
….. |
….. |
-25 |
+75 |
|
|
|
-75 |
+25 |
|
|
|
-25 |
|
|
+75 |
|
-75 |
+25 |
|
|
|
-25 |
+75 |
|
|
|
-75 |
+25 |
|
|
|
-25 |
|
+75 |
|
|
-75 |
+25 |
|
|
|
-25 |
|
-75 |
|
|
+75 |
-25 |
|
|
|
+25 |
-75 |
|
|
|
+75 |
-25 |
|
|
|
+25 |
|
|
-75 |
|
+75 |
-25 |
|
|
|
+25 |
-75 |
|
|
|
+75 |
-25 |
|
|
|
+25 |
|
-75 |
|
|
+75 |
-25 |
|
|
|
+25 |
Рис. 38
Применение данного преобразования вы видите на рис. 39.
78 |
16 |
9 |
22 |
90 |
28 |
66 |
59 |
72 |
65 |
|
78 |
91 |
9 |
22 |
15 |
53 |
66 |
59 |
72 |
40 |
20 |
83 |
21 |
14 |
77 |
45 |
58 |
71 |
64 |
52 |
95 |
83 |
21 |
14 |
2 |
70 |
58 |
71 |
64 |
27 |
|
7 |
100 |
13 |
1 |
94 |
32 |
75 |
63 |
51 |
69 |
7 |
100 |
88 |
1 |
19 |
57 |
75 |
63 |
51 |
44 |
|
24 |
87 |
5 |
18 |
81 |
49 |
62 |
55 |
68 |
56 |
99 |
87 |
5 |
18 |
6 |
74 |
62 |
55 |
68 |
31 |
|
86 |
4 |
17 |
10 |
98 |
36 |
54 |
67 |
60 |
73 |
86 |
79 |
17 |
10 |
23 |
61 |
54 |
67 |
60 |
48 |
|
3 |
91 |
84 |
97 |
15 |
53 |
41 |
34 |
47 |
40 |
à |
3 |
16 |
84 |
97 |
90 |
28 |
41 |
34 |
47 |
65 |
95 |
8 |
96 |
89 |
2 |
70 |
33 |
46 |
39 |
27 |
|
20 |
8 |
96 |
89 |
77 |
45 |
33 |
46 |
39 |
52 |
82 |
25 |
88 |
76 |
19 |
57 |
50 |
38 |
26 |
44 |
82 |
25 |
13 |
76 |
94 |
32 |
50 |
38 |
26 |
69 |
|
99 |
12 |
80 |
93 |
6 |
74 |
37 |
30 |
43 |
31 |
24 |
12 |
80 |
93 |
81 |
49 |
37 |
30 |
43 |
56 |
|
11 |
79 |
92 |
85 |
23 |
61 |
29 |
42 |
35 |
48 |
11 |
4 |
92 |
85 |
98 |
36 |
29 |
42 |
35 |
73 |
Рис. 39
Пример 7. Простое преобразование для сотового магического квадрата 6-го порядка. Матрица преобразования изображена на рис. 40. На рис. 41 показано применение преобразования.
|
|
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
+2 |
-2 |
|
|
|
|
-2 |
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 40
6 |
7 |
26 |
27 |
22 |
23 |
|
6 |
7 |
26 |
27 |
22 |
23 |
8 |
5 |
28 |
25 |
24 |
21 |
|
8 |
5 |
28 |
25 |
24 |
21 |
34 |
35 |
18 |
19 |
2 |
3 |
|
36 |
33 |
18 |
19 |
2 |
3 |
36 |
33 |
17 |
20 |
4 |
1 |
à |
34 |
35 |
17 |
20 |
4 |
1 |
14 |
15 |
10 |
11 |
30 |
31 |
|
14 |
15 |
10 |
11 |
30 |
31 |
13 |
16 |
12 |
9 |
29 |
32 |
|
13 |
16 |
12 |
9 |
29 |
32 |
Рис. 41
Вот такое немудрёное преобразование, а магический квадрат получается новый.
Пример 8. Простое преобразование для сотового магического квадрата 10-го порядка. На рис. 42 изображена матрица преобразования, а на рис. 43 показано применение данного преобразования.
-1 |
+1 |
|
+1 |
|
+1 |
-1 |
|
-1 |
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
+1 |
|
+1 |
|
-1 |
+1 |
+1 |
|
+1 |
|
|
-1 |
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
-1 |
+1 |
|
+1 |
|
|
|
+1 |
|
+1 |
|
|
-1 |
|
-1 |
+1 |
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
+1 |
|
+1 |
|
|
|
|
+1 |
|
+1 |
-1 |
|
-1 |
|
+1 |
-1 |
-1 |
|
-1 |
|
|
+1 |
|
+1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
+1 |
|
+1 |
|
|
|
+1 |
|
+1 |
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
+1 |
Рис. 42
27 |
26 |
16 |
14 |
84 |
82 |
71 |
69 |
59 |
57 |
|
26 |
27 |
16 |
15 |
84 |
83 |
70 |
69 |
58 |
57 |
28 |
25 |
13 |
15 |
81 |
83 |
70 |
72 |
58 |
60 |
28 |
25 |
13 |
14 |
81 |
82 |
71 |
72 |
59 |
60 |
|
63 |
62 |
50 |
52 |
38 |
40 |
5 |
7 |
93 |
95 |
62 |
63 |
51 |
52 |
39 |
40 |
5 |
6 |
93 |
94 |
|
64 |
61 |
49 |
51 |
37 |
39 |
6 |
8 |
94 |
96 |
64 |
61 |
49 |
50 |
37 |
38 |
7 |
8 |
95 |
96 |
|
17 |
20 |
86 |
88 |
74 |
76 |
41 |
43 |
29 |
31 |
17 |
20 |
87 |
88 |
75 |
76 |
41 |
42 |
29 |
30 |
|
18 |
19 |
85 |
87 |
73 |
75 |
42 |
44 |
30 |
32 |
à |
19 |
18 |
85 |
86 |
73 |
74 |
43 |
44 |
31 |
32 |
53 |
56 |
24 |
22 |
12 |
10 |
99 |
97 |
67 |
65 |
|
53 |
56 |
24 |