Н. Макарова
Магические
квадраты 9-го порядка из последовательных простых чисел
Статья написана для более подробного рассказа о соответствующей последовательности в OEIS. Я ещё только готовлю эту последовательность, поэтому ссылки пока нет.
Для построения магического квадрата 9-го порядка необходимо иметь массив из 81 последовательных простых чисел таких, что сумма всех чисел массива кратна 9. Далее приведено 12 потенциальных массивов из последовательных простых чисел. Для каждого потенциального массива магический квадрат построился. После массива указана магическая константа квадрата, получаемого из данного массива.
37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479
2211
41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487
2261
43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491
2311
59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509
2463
79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557
2725
229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733
4257
421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953
6125
463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013
6611
601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151
7821
821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399
9841
827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423
9973
859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447
10303
Первый магический квадрат из последовательных простых чисел я нашла на сайте S. Tognon:
http://digilander.libero.it/ice00/magic/prime/squares37.html#9
Вот этот квадрат:
Prime Magic Square of
order 9 from prime 37 (m.c.
2211)
379 263 373 61 163 281 193 359 139
199 257 347 53 367 271 421 223 73
337 137 83 149 197 419 79 331 479
71 401 349 173 59 311 277 113 457
251 97 43 241 283 449 439 307 101
293 467 41 313 431 157 167 109 233
103 211 239 461 131 127 409 67 463
181 227 353 443 191 107 47 433 229
397 151 383 317 389 89 179 269 37
Преобразовала его к такому виду с помощью основных преобразований (рис. 1):
|
37 |
269 |
179 |
89 |
389 |
317 |
383 |
151 |
397 |
|
229 |
433 |
47 |
107 |
191 |
443 |
353 |
227 |
181 |
|
463 |
67 |
409 |
127 |
131 |
461 |
239 |
211 |
103 |
|
233 |
109 |
167 |
157 |
431 |
313 |
41 |
467 |
293 |
|
101 |
307 |
439 |
449 |
283 |
241 |
43 |
97 |
251 |
|
457 |
113 |
277 |
311 |
59 |
173 |
349 |
401 |
71 |
|
479 |
331 |
79 |
419 |
197 |
149 |
83 |
137 |
337 |
|
73 |
223 |
421 |
271 |
367 |
53 |
347 |
257 |
199 |
|
139 |
359 |
193 |
281 |
163 |
61 |
373 |
263 |
379 |
Рис. 1
Это наименьший магический квадрат 9-го порядка из последовательных простых чисел.
В OEIS есть последовательность магических констант наименьших магических квадратов из последовательных простых чисел:
На рис. 2 вы видите построенный по моей программе магический квадрат с константой 2211. В моей программе есть изюминка: все квадраты начинаются с минимального числа массива, то есть это число находится в левой верхней ячейке квадрата. В программе S. Tognon это не предусмотрено, минимальное число массива может находиться где угодно.
|
37 |
127 |
163 |
179 |
229 |
233 |
379 |
421 |
443 |
|
41 |
431 |
463 |
457 |
59 |
139 |
433 |
109 |
79 |
|
409 |
311 |
389 |
71 |
307 |
347 |
281 |
53 |
43 |
|
373 |
137 |
181 |
251 |
401 |
239 |
317 |
89 |
223 |
|
173 |
419 |
101 |
103 |
113 |
353 |
313 |
277 |
359 |
|
97 |
383 |
397 |
479 |
47 |
197 |
107 |
263 |
241 |
|
349 |
131 |
193 |
149 |
367 |
199 |
73 |
467 |
283 |
|
439 |
61 |
257 |
191 |
227 |
167 |
151 |
449 |
269 |
|
293 |
211 |
67 |
331 |
461 |
337 |
157 |
83 |
271 |
Рис. 2
Далее показаны магические квадраты, построенные из всех приведённых выше потенциальных массивов.
S = 2261
41 379 281 467 349 257 229 199 59
313 223 127 337 131 101 479 107 443
409 71 331 79 137 263 347 271 353
211 307 487 149 251 293 181 113 269
191 419 109 439 173 233 103 397 197
97 283 193 317 433 457 241 157 83
461 139 239 359 373 179 67 401 43
89 277 73 53 367 167 463 389 383
449 163 421 61 47 311 151 227 431
Покажу для сравнения магический квадрат, построенный по программе S. Tognon
ORDER=9 MAGIC=2261
199 97 467 317 127 419 439 47 149
191 157 163 211 293 137 283 479 347
257 109 389 107 263 433 113 367 223
101 131 179 331 397 233 197 421 271
73 409 281 89 193 337 167 269 443
239 227 41 79 313 487 139 383 353
463 449 307 311 379 53 173 43 83
461 431 61 359 67 59 401 181 241
277 251 373 457 229 103 349 71 151
S = 2311
43 97 277 193 397 269 181 433 421
389 73 173 271 401 283 331 337 53
163 61 233 457 373 487 317 107 113
409 311 211 379 461 103 131 109 197
307 491 293 79 257 101 137 167 479
383 67 347 223 83 367 239 139 463
149 419 59 313 89 359 281 443 199
227 353 251 349 71 191 263 449 157
241 439 467 47 179 151 431 127 229
S = 2463
59 167 467 163 229 383 463 83 449
241 419 127 281 487 349 79 269 211
337 433 73 257 193 199 89 503 379
353 397 157 233 181 331 479 61 271
401 263 311 439 317 113 137 373 109
491 97 457 367 461 313 67 107 103
151 101 223 179 173 307 509 431 389
359 347 149 251 139 191 197 409 421
71 239 499 293 283 277 443 227 131
S = 2725
79 547 383 233 137 107 487 229 523
347 89 103 431 277 367 223 331 557
353 379 499 83 463 271 293 283 101
443 281 131 467 199 419 167 139 479
449 239 509 149 109 373 263 521 113
181 397 179 317 457 409 157 359 269
313 503 257 193 337 401 433 191 97
211 127 491 541 439 227 241 251 197
349 163 173 311 307 151 461 421 389
S = 4257
229 673 577 401 439 547 457 257 677
727 379 569 443 421 337 503 607 271
353 661 619 647 461 293 263 373 587
691 701 431 283 487 463 593 277 331
359 269 347 509 659 733 251 499 631
349 467 311 617 433 599 557 241 683
523 491 281 419 397 563 541 653 389
719 383 521 367 317 313 479 709 449
307 233 601 571 643 409 613 641 239
S = 6125
421 883 857 457 643 617 941 509 797
659 523 811 677 613 821 739 599 683
911 619 661 787 491 601 823 769 463
937 571 431 881 733 449 673 809 641
443 863 919 647 953 719 557 521 503
487 757 541 577 859 829 569 653 853
773 439 631 947 467 499 563 929 877
907 709 547 691 887 751 433 593 607
587 761 727 461 479 839 827 743 701
S = 6611
463 881 983 653 571 587 743 919 811
947 673 487 839 509 733 971 691 761
937 619 641 719 773 769 661 479 1013
643 659 727 1009 797 857 467 929 523
547 809 557 577 907 599 647 991 977
967 491 883 503 853 997 827 569 521
607 709 739 859 701 821 757 877 541
887 829 911 499 677 631 751 563 863
613 941 683 953 823 617 787 593 601
S = 7821
601 643 1031 1087 853 977 787 1013 829
1061 877 991 971 739 661 907 967 647
821 823 617 1051 761 937 773 1097 941
919 743 673 911 1091 797 1109 631 947
719 659 1151 809 691 1021 827 881 1063
757 1019 883 1033 857 1049 839 683 701
1103 1129 727 733 613 859 997 677 983
953 1117 709 619 1093 751 929 1009 641
887 811 1039 607 1123 769 653 863 1069
S = 9841
821 1103 997 863 1303 1171 1327 1063 1193
1279 1367 1109 1039 929 1033 881 1321 883
1237 823 1069 1319 1231 1153 953 1217 839
1093 1097 1123 1201 829 977 1259 1291 971
967 1307 1283 859 1117 983 1381 857 1087
1229 1009 937 1019 1091 1297 877 1021 1361
1051 947 1223 1249 1373 991 853 1213 941
1013 887 1181 1163 907 1187 1399 827 1277
1151 1301 919 1129 1061 1049 911 1031 1289
S = 9973
827 1151 1307 839 1249 1123 1367 1223 887
1213 863 907 1361 1301 1327 853 1171 977
877 1021 1423 1163 1289 1303 1019 967 911
1283 1091 1117 941 881 1229 1129 929 1373
857 1009 1409 971 1013 1193 1097 1321 1103
1279 1291 937 1031 1093 1109 1231 953 1049
1069 1201 983 1319 1237 947 1181 1039 997
1187 1259 829 1297 991 883 1033 1217 1277
1381 1087 1061 1051 919 859 1063 1153 1399
S = 10303
859 1427 1367 1321 1249 953 1093 971 1063
1103 1423 1049 929 883 1051 1289 1447 1129
1201 1117 1297 881 1277 1439 1217 877 997
1301 1009 947 1213 977 1181 1229 1433 1013
1237 941 1193 1171 1021 911 1087 1381 1361
1151 1429 1319 919 1231 1223 1153 887 991
1187 1031 1109 1399 1283 1091 863 967 1373
937 1019 983 1061 1123 1291 1303 1307 1279
1327 907 1039 1409 1259 1163 1069 1033 1097
Таким образом, имеем следующую последовательность магических констант:
2211, 2261, 2311, 2463, 2725, 4257, 6125, 6611, 7821, 9841, 9973, 10303
Понятно, что последовательность можно продолжить. Но можно ли доказать, что из каждого потенциального массива, удовлетворяющего указанному выше условию, магический квадрат построится?
По аналогии с последовательностью магических констант квадратов 7-го порядка из последовательных чисел написала программку для Maple, которая вычисляет 50 первых потенциальных магических констант квадратов 9-го порядка из последовательных простых чисел.
s:= proc(n) option remember;
`if` (n=1, add (ithprime(i), i=1..81),
ithprime(n+80) -ithprime(n-1) +s(n-1))
end:
a:= proc(n) option remember; local k, m;
a(n-1);
for k from 1+b(n-1) while irem
(s(k), 9, 'm')<>0 do od;
b(n):= k; m
end:
a(0):=0: b(0):=0:
seq (a(n), n=1..50);
Программу проверили на форуме Портала ЕН. Вот результат:
2211, 2261, 2311,
2463, 2725, 4257, 6125, 6611, 7821, 9841, 9973, 10303, 10499, 10631, 10953,
11987, 12115, 12179, 12243, 12309, 12375, 12637, 12837, 13497, 13695, 14169,
15063, 15395, 16207, 16483, 16821, 17605, 17891, 19017, 20345, 20487, 21135,
22539, 22811, 23219, 23985, 24057, 24271, 24415, 25075, 25223, 25669, 26109,
27721, 28031
В OEIS есть аналогичные последовательности для магических квадратов порядков 4 - 8:
A173981,
A176571, A177434, A188536, A189188 соответственно.
Последовательность
в OEIS для
квадратов 9-го порядка:
Смотрите также мою статью «Наименьшие магические квадраты из простых чисел (часть III)»
http://www.natalimak1.narod.ru/sqmin3.htm
10 июня 2011 г.
г. Саратов
На главную страницу сайта:
http://www.klassikpoez.narod.ru/index.htm
На главную страницу раздела «Волшебный мир магических квадратов»:
http://www.klassikpoez.narod.ru/glaыnaja.htm
Контакт:
