СОТОВЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Прежде всего замечу, что для лучшего понимания данной статьи необходимо ознакомиться со статьями:

 

http://www.natalimak1.metody5.htm

http://www.natalimak1.metody6.htm

 

В указанных статьях вы найдёте подробное изложение метода сотовых квадратов, которое приведено по книге Ю. В. Чебракова. Автор книги называет этот метод модифицированным методом террас, а построенные данным методом магические квадраты “2*2 ячеечными”. Мне такое название показалось несколько неуклюжим, и я назвала такие квадраты сотовыми. Дам определение сотового магического квадрата:

 

 

Примечание: в определении речь идёт о традиционном магическом квадрате. Очевидно, что сотовый квадрат может быть и нетрадиционным. Один из двух вспомогательных нетрадиционных магических квадратов, используемых при построении магического сотового квадрата, будет сотовым квадратом в смысле данного определения. Он тоже составляется из квадратов 2х2, но в каждом таком квадрате записываются четыре числа – 0, 1, 2, 3 (эти четыре числа тоже последовательные).

 

Сотовые магические квадраты – совершенно новый тип магических квадратов, поэтому я решила остановиться на них подробнее.

 

Автор книги рассматривает три случая построения сотовых квадратов (моё изложение метода следует по такому же пути):

 

1. квадраты порядка n = 4k + 2, k = 1, 2, 3… ;

2. квадраты порядка n = 8k + 4, k = 1, 2, 3… ;

3. квадраты порядка n = 8k, k = 1, 2, 3… .

 

Понятно, что минимальный сотовый магический квадрат имеет порядок 6.

Из трёх перечисленных случаев наибольший интерес представляют квадраты порядка n = 8k, потому что только сотовые квадраты данной серии порядков могут быть ассоциативными, пандиагональными и идеальными. Но в книге не приведено ни одного примера построения сотовых магических квадратов данной серии порядков.

Здесь рассматриваются такие примеры. Минимальный порядок квадрата данной серии порядков равен 8. Для построения сотового квадрата порядка n = 8k надо взять в качестве исходного квадрата любой магический квадрат порядка n = 4k. Далее приведено несколько примеров построения сотового квадрата 8-ого порядка.

 

Пример 1

 

Возьмём в качестве исходного магический квадрат 4-ого порядка, не обладающий никакими дополнительными свойствами (рис. 1).

 

 

Рис. 1

 

Построение первого вспомогательного квадрата из исходного квадрата с рис. 1 не описывается здесь подробно (см. об этом в указанных выше статьях). На рис. 2 приведён готовый первый вспомогательный квадрат 8х8.

 

 

Рис. 2

 

Этот вспомогательный квадрат является нетрадиционным магическим квадратов с магической константой 248. Он тоже составлен из квадратов 2х2, но в каждом таком квадрате записаны четыре одинаковых числа. Нетрудно увидеть, что этот нетрадиционный магический квадрат, как и исходный магический квадрат, не обладает никакими дополнительными свойствами – ни ассоциативностью, ни пандиагональностью.

Второй вспомогательный квадрат был построен в одной из указанных выше статей на основании схемы расположения блоков 2х2, приведённой в книге Чебракова. На рис. 3 вы видите этот вспомогательный сотовый квадрат.

 

 

                                                     Рис. 3

 

Это нетрадиционный магический сотовый квадрат с магической константой 12. Очевидно, что он обладает свойством ассоциативности.

Теперь осталось сложить поэлементно два вспомогательных квадрата, и магический сотовый квадрат 8-ого порядка готов (рис. 4).

 

 

                                                     Рис. 4

 

Полученный магический сотовый квадрат не обладает никакими дополнительными свойствами. Хотя второй вспомогательный квадрат ассоциативен, этого не достаточно, чтобы магический сотовый квадрат тоже был ассоциативным, надо, чтобы этим свойством обладал также первый вспомогательный квадрат. Такой пример сейчас и будет рассмотрен.

 

Пример 2

 

Возьмём в качестве исходного квадрата для построения первого вспомогательного квадрат ассоциативный квадрат 4-ого порядка (рис. 5).

 

 

Рис. 5

 

На рис. 6 изображён готовый первый вспомогательный квадрат 8х8, построенный с помощью этого исходного квадрата.

 

 

Рис. 6

 

Очевидно, что этот нетрадиционный магический квадрат обладает свойством ассоциативности. Второй вспомогательный квадрат возьмём тот же самый, что и в примере 1 (рис. 3). Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата и получим новый сотовый магический квадрат 8-ого порядка, который будет ассоциативным, так как оба вспомогательных квадрата ассоциативны. Смотрите этот сотовый квадрат на рис. 7.

 

 

                                                     Рис. 7

 

Пример 3

 

Возьмём в качестве исходного квадрата для построения первого вспомогательного квадрата пандиагональный квадрат 4-ого порядка (рис. 8).

 

 

Рис. 8

 

Как известно, все пандиагональные квадраты 4-ого порядка являются совершенными. Следовательно, исходный квадрат у нас и пандиагональный, и совершенный. Будем строить магический сотовый квадрат 8-ого порядка. Сначала построим первый вспомогательный квадрат (рис. 9).

 

 

                                                     Рис. 9

 

Нетрудно убедиться в том, что этот нетрадиционный магический квадрат является пандиагональным.

А теперь надо построить второй вспомогательный квадрат так, чтобы он тоже был пандиагональным. Для этого применим к ассоциативному квадрату с рис. 3 преобразование трёх квадратов, которые превращает ассоциативный квадрат чётно-чётного порядка в пандиагональный. В результате применения этого преобразования получаем пандиагональный сотовый вспомогательный квадрат, изображённый на рис. 10.

 

 

                                                     Рис. 10

 

Складываем поэлементно вспомогательные квадраты с рис. 9 и с рис. 10. Полученный сотовый магический квадрат 8-ого порядка показан на рис. 11.

 

 

                                                     Рис. 11

 

Удивительный пандиагональный квадрат с оригинальной начальной цепочкой. На следующем рисунке (рис. 12) изображён этот квадрат с выделенной начальной цепочкой. Начальная цепочка тоже напоминает ход коня, но ход этот делается целым блоком 2х2. Примечательно, что в исходном пандиагональном квадрате 4-ого порядка (см. рис. 8) начальная цепочка строится точно таким же ходом коня.

 

 

                                                     Рис. 12

 

Ещё более поразительно в этом квадрате то, что он является совершенным! Только некоторые свойства совершенного квадрата в нём выполняются “блочно”, то есть не для ячеек квадрата, а для блоков 2х2 (пояснение ниже).

Сумма чисел в угловых ячейках квадрата равна 130, как и должно быть в совершенном квадрате. Свойство комплементарности тоже выполняется (подробно о свойствах совершенных квадратов смотрите в соответствующей статье о совершенных квадратах). А вот свойство: сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна 130, в этом квадрате, конечно, не выполняется. Это свойство как раз и выполняется “блочно”. Поясню, что это значит.  Заменим каждый квадрат 2х2 (называемый также блоком) на одну ячейку и в эту ячейку запишем сумму чисел из заменяемого блока. Полученный квадрат изображён на рис. 13.

 

 

Рис. 13

 

В этом нетрадиционном магическом квадрате, который представляет собой “блочную свёртку” квадрата с рис. 12, выполняются абсолютно все свойства совершенного квадрата. Сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна одному и тому же числу, только, конечно, не 130, а 520. Кроме того, в этом квадрате выполняется свойство комплементарности. Сумма чисел в угловых ячейках тоже равна 520. В довершение всего он является пандиагональным. Его магическая константа равна 520.

Если считать в этом нетрадиционном магическом квадрате начальной цепочкой первые четыре наименьших числа, то даже эта условная начальная цепочка совпадает по форме с начальной цепочкой в исходном квадрате (рис. 8).

 

Вот такой интересный совершенный сотовый квадрат мы получили! Ну, даже если его нельзя считать полностью совершенным квадратом, то пандиагональным он является.

 

Идеальный сотовый квадрат 8-ого порядка мы не можем построить данным методом, потому что идеального квадрата 4-ого порядка не существует.

 

Интересно отметить, что другой пандиагональный сотовый квадрат 8-ого порядка можно получить из ассоциативного сотового квадрата с рис. 7 применением к нему преобразования трёх квадратов. Этот квадрат показан на рис. 14.

 

 

                                                     Рис. 14

 

Получился совсем новый магический сотовый квадрат не эквивалентный квадрату с рис. 12. На рис. 15 показан этот сотовый квадрат с выделенной начальной цепочкой.

 

 

                                                     Рис. 15

 

Как видим, начальная цепочка тоже получается ходом коня (причём целым блоком 2х2), но по-другому, нежели в квадрате на рис. 12. Очевидно, что этот пандиагональный квадрат также обладает некоторыми свойствами совершенного квадрата, как и построенный выше квадрат (рис. 12). Предлагаю читателям сделать “блочную свёртку” этого квадрата и убедиться, что она является нетрадиционным совершенным магическим квадратом 4-ого порядка.

 

На этом я завершаю демонстрацию построения сотовых магических квадратов 8-ого порядка. Далее будет рассмотрено построение сотовых магических квадратов 16-ого порядка.

 

***

 

Переходим к построению сотовых магических квадратов 16-ого порядка. Для такого построения в качестве исходного берётся любой магический квадрат 8-ого порядка. От свойств этого квадрата будут зависеть свойства построенного сотового квадрата 16-ого порядка. Рассмотрим несколько примеров.

 

Пример 1

 

Возьмём в качестве исходного квадрата ассоциативный магический квадрат 8-ого порядка, построенный методом квадратных рамок (рис. 16).

 

 

                                                                       Рис. 16

 

Заготовка для первого вспомогательного квадрата по алгоритму автора книги получается заменой всех чисел в этом исходном квадрате на числа 1, 5, 9, 13, …, то есть на числа, являющиеся членами арифметической прогрессии с разностью 4. Однако делать такую замену в квадрате 8-ого порядка уже не совсем удобно (в отличие от квадрата 4-ого порядка). Поэтому здесь предлагается альтернативный вариант: надо построить нетрадиционный магический квадрат 8-ого порядка методом квадратных рамок (подробно смотрите в одной из указанных выше статей). На рис. 17 изображён первый вспомогательный квадрат.

 

 

                                                     Рис. 17

 

Это нетрадиционный магический квадрат, обладающий свойством ассоциативности. Его магическая константа равна 2032.

Для построения второго вспомогательного квадрат используем квадрат с рис. 3. Очевидно, что если разместить четыре таких квадрата в матрице 16х16, получится нетрадиционный ассоциативный квадрат с магической константой 24. Вы видите этот квадрат на рис. 18.

 

 

Рис. 18

 

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 17 и рис. 18) и магический сотовый квадрат 16-ого порядка готов (рис. 19).

 

 

Рис. 19

 

Полученный сотовый магический квадрат тоже ассоциативный. Мы можем сразу же превратить его в пандиагональный сотовый квадрат, применив преобразование трёх квадратов. На рис. 20 показан полученный пандиагональный сотовый квадрат.

 

 

Рис. 20

 

В квадрате выделена начальная цепочка.

 

Если вы возьмёте в качестве исходного квадрата пандиагональный квадрат 8-ого порядка и второй вспомогательный квадрат тоже сделаете пандиагональным (это легко сделать, применив к квадрату с рис. 18 преобразование трёх квадратов), то получите новый пандиагональный сотовый квадрат 16-ого порядка не эквивалентный квадрату, изображённому на рис. 20. Такое построение уже было показано в одной из указанных выше статей.

 

Пример 2

 

А теперь возьмём в качестве исходного совершенный квадрат 8-ого порядка, изображённый на рис. 21.

 

 

                                                                       Рис. 21

 

К сожалению, здесь нельзя применить метод квадратных рамок при составлении заготовки для первого вспомогательного квадрата, поэтому придётся делать замену чисел непосредственно. Заготовка, полученная после замены чисел 1, 2, 3, …, 64 на числа 1, 5, 9, 13, … , 253, показана на рис. 22. Напомню, что замена производится соответственно в порядке следования чисел в обеих последовательностях.

 

 

                                                                       Рис. 22

 

Превращаем заготовку в первый вспомогательный квадрат. Для этого, как помнят читатели, надо каждую ячейку заменить квадратом 2х2 и записать в этот квадрат число из заменяемой ячейки. Первый вспомогательный квадрат изображён на рис. 23.

 

 

Рис. 23

 

Это нетрадиционный магический квадрат с магической константой 2032, обладающий свойством пандиагональности.

Для построения второго вспомогательного квадрата используем квадрат с рис. 10. Разместим в верхней половине матрицы 16х16 две копии этого квадрата, а в нижней половине матрицы – два одинаковых квадрата, полученных из этого квадрата отражением относительно вертикальной оси симметрии. Полученный в результате второй вспомогательный квадрат изображён на рис. 24.

 

 

Рис. 24

 

Симметрия в этом квадрате поразительная. Квадрат является нетрадиционным пандиагональным квадратом с магической константой 24.

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 23 и рис. 24) и получим следующий пандиагональный сотовый квадрат (рис. 25):

 

 

Рис. 25

 

Этот сотовый квадрат помимо пандиагональности обладает и несколькими свойствами совершенного квадрата. Сумма чисел в угловых ячейках равна 514, как и должно быть в совершенном квадрате. Выполняется и свойство комплементарности.

Обратите внимание на начальную цепочку в этом квадрате, она похожа по форме на начальную цепочку в исходном совершенном квадрате 8-ого порядка (рис. 21), только образована целыми блоками 2х2.

Сделаем “блочную свёртку” этого пандиагонального сотового квадрата (рис. 26):

 

 

                                                                       Рис. 26

 

И перед вами нетрадиционный совершенный квадрат 8-ого порядка! В квадрате выделена начальная цепочка, составленная из первых восьми наименьших чисел. По форме эта условная начальная цепочка в точности совпадает с начальной цепочкой в исходном совершенном квадрате 8-ого порядка (рис. 21). Магическая константа этого квадрата равна удвоенной магической константе квадрата 16-ого порядка.

 

Пример 3

 

В этом примере возьмём в качестве исходного квадрата идеальный квадрат 8-ого порядка (рис. 27).

 

 

Рис. 27

 

Первый вспомогательный квадрат изображён на рис. 28.