СОТОВЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Часть II

 

Данная страница является продолжением страницы

 

http://www.natalimak1.narod.ru/sotov.htm

 

Как я уже отмечала, в книге Чебракова в большинстве случаев не указывается, кто автор того или иного метода. Вот и метод сотовых квадратов неизвестно кому принадлежит.

Вчера просматривала все ссылки по магическим квадратам и наткнулась на эту:

http://www.grogono.com/magic/6x6.php

 

С этого сайта я уже использовала матричные методы построения пандиагональных квадратов. А поскольку квадраты 6-ого порядка не могут быть пандиагональными, то эту страницу сайта я и не стала тогда смотреть внимательно. А сейчас глянула на эту страницу – да это же метод сотовых квадратов! Жалко, что статья на английском языке, и я не всё в ней понимаю. Но пример построения первого магического квадрата 6-ого порядка не оставляет никаких сомнений: это именно метод сотовых квадратов.

Скопирую этот пример построения с данной веб-страницы. Вот первый вспомогательный квадрат (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

Вот второй вспомогательный квадрат (рис. 2):

 

 

Рис. 2

 

А это готовый сотовый квадрат 6-ого порядка, который, очевидно, получен поэлементным сложением двух вспомогательных квадратов (рис. 3):

 

 

Рис. 3

 

Здесь первый вспомогательный квадрат и готовый магический квадрат заполнены числами на единицу меньшими, нежели в привычном традиционном магическом квадрате. Чтобы из квадрата с рис. 3 получить традиционный магический квадрат, надо все его элементы увеличить на единицу.

 

Интересно посмотреть на схему расстановки блоков 2х2 во втором вспомогательном квадрате, в этой схеме использованы 9 разных блоков, такая схема в книге Чебракова не приводится, автор даёт только схемы с использованием трёх разных блоков.  На рис. 4 приведена схема расстановки блоков, соответствующая квадрату с рис. 2 (каждый блок 2х2 заменён его номером).

 

 

Рис. 4

 

Но в книге приводится количество таких схем расстановки (с использованием 9 различных блоков), это количество равно 18886.

 

Далее в указанной статье на веб-сайте приводится одна группа магических квадратов. Вот эти магические квадраты (копирую):

 

24 Examples from 1 Source

 

            1                                 2                                 3                                 4     
22 21 24 25  6  7        21 22 24 26  5  7        17 22 24 30  3  9        22 17 24 25  8  9
20 23 27 26  5  4        20 23 27 25  6  4        16 23 31 25  8  2        16 23 31 30  3  2
 3  0 17 16 35 34        3  0 18 16 35 33         7  0 20 14 35 29         7  0 15 14 35 34
 1  2 19 18 33 32        2  1 19 17 34 32         6  1 21 15 34 28         1  6 21 20 29 28
31 30  8  9 12 15        31 29  8 10 12 15       33 27  4 10 12 19       33 32  4  5 12 19
28 29 10 11 14 13      28 30  9 11 13 14       26 32  5 11 13 18       26 27 10 11 18 13
                          
            5                                  6                                7                                 8     
20 17 24 27  7 10       17 20 24 30  4 10       30 29  8  9 14 15        29 30  8 10 13 15
14 23 33 30  4  1        14 23 33 27  7  1        28 31 11 10 13 12      28 31 11  9 14 12
 9  0 16 13 35 32        9  0 19 13 35 29         3  0 17 16 35 34         3  0 18 16 35 33
 3  6 22 19 29 26        6  3 22 16 32 26         1  2 19 18 33 32         2  1 19 17 34 32
34 31  2  5 12 21        34 28  2  8 12 21        23 22 24 25  4  7        23 21 24 26  4  7
25 28  8 11 18 15       25 31  5 11 15 18       20 21 26 27  6  5        20 22 25 27  5  6
                          
            9                                 10                               11                               12     
32 27  4  5 18 19        27 32  4 10 13 19       31 28  2  5 18 21        28 31  2  8 15 21
26 33 11 10 13 12      26 33 11  5 18 12       25 34 11  8 15 12       25 34 11  5 18 12
 7  0 15 14 35 34        7  0 20 14 35 29         9  0 16 13 35 32         9  0 19 13 35 29
 1  6 21 20 29 28        6  1 21 15 34 28         3  6 22 19 29 26         6  3 22 16 32 26
23 22 24 25  2  9        23 17 24 30  2  9        23 20 24 27  1 10       23 17 24 30  1 10
16 17 30 31  8  3        16 22 25 31  3  8        14 17 30 33  7  4        14 20 27 33  4  7
                          
            13                               14                               15                               16     

23 14  6 15 19 28       25 16  2 11 21 30       26 11 12 15 19 22      31 16  2  5 24 27

5 32 33 24 10  1         7 34 29 20 12  3         8 29 33 30  4  1          13 34 23 20  9 6

27 0 13 4 35 26          27 0 13 3 35 26          21 0 10 7 35 32          21 0 10 7 35 32

9 18 31 22 17  8         9 18 31 22 17  8         3 18 28 25 17 14        3 18 28 25 17 14

34 25  2 11  3 30        32 23  6 15  1 28        34 31  2  5  6 27         29 26 12 15  1 22

7 16 20 29 21 12        5 14 24 33 19 10        13 16 20 23 24  9       8 11 30 33 19  4

                       
            17                               18                               19                               20     
28 11 12 13 20 21      32 15  4  5 24 25        14 23  6 24 10 28       16 25  2 20 12 30
10 29 31 30  3  2        14 33 23 22  7  6        5 32 33 15 19  1         7 34 29 11 21  3
19  0  9  8 35 34         19  0  9  8 35 34         27  0 22  4 35 17        27  0 22  4 35 17
 1 18 27 26 17 16       1 18 27 26 17 16        18  9 31 13 26  8        18  9 31 13 26  8
33 32  4  5  6 25         29 28 12 13  2 21       34 16  2 20  3 30        32 14  6 24  1 28
14 15 22 23 24  7       10 11 30 31 20  3       7 25 11 29 12 21        5 23 15 33 10 19
                          
            21                               22                               23                               24     
11 26 12 30  4 22       16 31  2 20  9 27        11 28 12 30  3 21       15 32  4 22  7 25
 8 29 33 15 19  1        13 34 23  5 24  6        10 29 31 13 20  2       14 33 23  5 24  6
21  0 25  7 35 17        21  0 25  7 35 17        19  0 26  8 35 17        19  0 26  8 35 17
18  3 28 10 32 14       18  3 28 10 32 14       18  1 27  9 34 16        18  1 27  9 34 16
34 16  2 20  6 27        29 11 12 30  1 22       33 15  4 22  6 25        29 11 12 30  2 21
13 31  5 23  9 24        8 26 15 33  4 19         14 32  5 23  7 24        10 28 13 31  3 20

 

И вот тут начинается самое интересное!  Среди этих магических квадратов есть и не сотовые квадраты. Например, квадрат № 10 (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

Примечание: все квадраты я привожу к традиционному виду.

 

В этом квадрате в блоках 2х2 не записаны четыре последовательных числа, как в данном мной определении сотового магического квадрата. Здесь в каждом блоке имеем по две пары последовательных чисел, например: 27, 28 и 33, 34 или 3, 4 и 9, 10. Получается некоторое обобщение сотового квадрата. Но есть ещё и такие квадраты, в которых вообще нет последовательных чисел в блоках 2х2. Например, квадрат № 20 (рис. 6).

 

 

Рис. 6

 

Как видите, в этом квадрате ни в одном блоке 2х2 нет последовательных чисел.

Очевидно, что если для построения магического квадрата использовать вспомогательные квадраты, имеющие такую структуру, как в приведённом выше примере из указанной статьи, то такие квадраты, как на рис. 5 и рис. 6, не получатся. В методе сотовых квадратов (который изложен по книге Чебракова) используются вспомогательные квадраты только такой структуры, как в приведённом примере (см. рис. 1 и рис. 2). Получается, что некоторым варьированием вспомогательных квадратов можно получить ещё множество магических квадратов, имеющих другую структуру, то есть не являющихся сотовыми в смысле данного мной определения сотового магического квадрата. В книге Чебракова такие квадраты не рассматриваются.

 

ОБОБЩЁННЫЙ МЕТОД СОТОВЫХ КВАДРАТОВ

 

Не сразу мне удалось понять, как же происходит варьирование вспомогательных квадратов в указанной статье (ещё английский язык мешает, перевести статью в Google не получилось), но всё-таки поняла. И получается своего рода обобщение метода сотовых квадратов.

Первый вспомогательный квадрат в статье получается из двух квадратов A и B [копирую] (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Из рисунка видно, что матрица первого вспомогательного квадрата получается по формуле 4*A + 12*B.

Второй вспомогательный квадрат тоже получается из двух квадратов – C и D, смотрите копию из статьи на рис. 8.

 

 

Рис. 8

 

Из рисунка видно, что матрица второго вспомогательного квадрата получается по формуле 2*C + D. Магический квадрат, как мы уже знаем, получается поэлементным сложением двух вспомогательных квадратов (Component 1 и Component 2). С учётом формул для получения первого и второго вспомогательных квадратов матрица готового магического квадрата в данном примере вычисляется так:

 

4*A + 12*B + 2*C + D.

 

Всё готово для того чтобы начать варьирование. Варьирование производится заменой множителей у матриц A, B, C и D. Возможные комбинации множителей приведены в следующей таблице (рис. 9) [копирую]:

 

      Рис. 9

 

Очевидно, что приведённый пример находится в таблице вариантов под номером 7 (коэффициенты 4, 12, 2, 1).

Построим теперь другой магический квадрат, например, вариант под номером 24. Первый вспомогательный квадрат в этом случае будет вычисляться так (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

Построение второго вспомогательного квадрата показано на рис. 11.

 

 

Рис. 11

 

Осталось сложить поэлементно два построенных вспомогательных квадрата. Будем сразу увеличивать на единицу все элементы в получаемом при сложении квадрате, чтобы получить традиционный магический квадрат. Готовый магический квадрат вы видите на рис. 12.

 

 

Рис. 12

 

В этом квадрате каждый блок 2х2 содержит по две пары последовательных чисел. В массиве всех квадратов данной группы этот квадрат находится под номером 23.

 

Возьмём теперь магический квадрат из книги Чебракова (рис. 13) и сделаем для него подобное обобщение.

 

 

Рис. 13

 

Первый вспомогательный квадрат для данного квадрата составляется так (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

Примечание: построение первого вспомогательного квадрата основано на магическом квадрате третьего порядка, как в методе Чебракова, так и в цитируемой статье.

 

Второй вспомогательный квадрат для рассматриваемого магического квадрата составляется так (рис. 15):

 

 

Рис. 15

 

Вспомогательный квадрат (Component 2) мне известен, квадраты C и D, из которых он составляется, я сочинила сама. В статье приведён рисунок (см. рис. 8 здесь), на котором показано построение второго вспомогательного квадрата, но как составляются квадраты C и D, не объясняется (а может быть, и объясняется, но я не смогла прочитать).

 

Пойдём дальше. Выберем в таблице на рис. 9 вариант № 13; в этом варианте первый вспомогательный квадрат строится по формуле 3*А + В, а второй вспомогательный квадрат – по формуле 18*С + 9*D. На рис. 16 и на рис. 17 показано построение вспомогательных квадратов по этим формулам.

 

 

Рис. 16

 

 

Рис. 17

 

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата, одновременно увеличивая все элементы получившегося квадрата на единицу. Готовый магический квадрат изображён на рис. 18. Он получился!

 

 

Рис. 18

 

Однако для рассматриваемого квадрата (рис. 13) не все варианты из таблицы на рис. 9 дают магические квадраты. Возьмём, например, вариант № 22, в этом варианте первый вспомогательный квадрат строится по формуле А + 6*В, а второй вспомогательный квадрат – по формуле 3*С + 18*D. На рис. 19 и на рис. 20 показано построение вспомогательных квадратов.

 

 

Рис. 19

 

 

Рис. 20

 

Легко убедиться, что в этом случае, сложив поэлементно два вспомогательных квадрата, мы не получим магический квадрат. Магические квадраты получаются для следующих вариантов: №№ 1, 5, 7, 11, 13, 14. Но всё равно метод даёт пять новых магических квадратов дополнительно к квадрату, построенному автором книги.

 

Наконец, рассмотрим ещё один сотовый квадрат, построенный методом сотовых квадратов (рис. 21).

 

 

Рис. 21

 

Для этого сотового магического квадрата первый вспомогательный квадрат строится так же, как в предыдущем примере (см. рис. 14). Второй вспомогательный квадрат составляется так (рис. 22):

 

 

Рис. 22

 

Квадраты C и D опять сочинила сама по аналогии с примером в статье. Здесь эти квадраты получились лучше, чем в предыдущем примере вот в каком смысле: оба квадрата являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 3. Точно так же и в примере из указанной статьи. А вот для квадрата Чебракова квадраты C и D этим свойством не обладают. Поэтому данный квадрат и имеет всего 6 вариантов (считая сам этот квадрат).

 

Теперь проверим тот самый вариант № 22, который не получился для квадрата из книги. Первый вспомогательный квадрат у нас уже построен (см. рис. 19). Второй вспомогательный квадрат строится так (рис. 23):

 

 

Рис. 23

 

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата, прибавляя единицу к каждому элементу получившегося квадрата, и получим следующий магический квадрат (рис. 24):

 

 

Рис. 24

 

Как видите, этот магический квадрат не сотовый.

 

Чтобы получить все 24 варианта для рассматриваемого примера, составляю программку. И вот перед вами 24 магических квадрата, построенных обобщённым методом сотовых квадратов. Среди этих квадратов имеются и сотовые магические квадраты. Под № 1 вы видите исходный квадрат (см. рис. 21).

 

№ 1                                        № 2                                        № 3 

 8  5  27  25  24  22                8  5  26  25  24  23                 10  3  26  25  24  23  

 7  6  26  28  21  23                6  7  27  28  21  22                 4  9  31  32  17  18 

 34  35  17  19  2  4                35  34  17  18  3  4                 35  30  15  16  7  8  

 33  36  18  20  1  3                33  36  19  20  1  2                 29  36  21  22  1  2  

 14  16  11  9  31  30              15  16  10  9  30  31               19  20  6  5  28  33  

 15  13  12  10  32  29            14  13  12  11  32  29             14  13  12  11  34  27  

 

 № 4                                       № 5                                       № 6

 10  3  31  25  24  18              11  2  31  25  24  18               11  2  28  25  24  21

 9  4  26  32  17  23                8  5  28  34  15  21                 5  8  31  34  15  18  

 30  35  15  21  2  8                30  33  14  20  4  10               33  30  14  17  7  10  

 29  36  16  22  1  7                27  36  17  23  1  7                 27  36  20  23  1  4  

 14  20  11  5  33  28              16  22  9  3  32  29                 19  22  6  3  29  32  

 19  13  12  6  34  27              19  13  12  6  35  26               16  13  12  9  35  26  

 

 № 7                                       № 8                                       № 9

 16  13  11  9  32  30              16  13  10  9  32  31               20  13  11  5  34  28  

 15  14  10  12  29  31            14  15  11  12  29  30             19  14  6  12  27  33  

 34  35  17  19  2  4                35  34  17  18  3  4                 30  35  15  21  2  8

 33  36  18  20  1  3                33  36  19  20  1  2                 29  36  16  22  1  7 

 6  8  27  25  23  22                7  8  26  25  22  23                4  10  31  25  23  18

 7  5  28  26  24  21                6  5  28  27  24  21                 9  3  32  26  24  17

 

№ 10                                      № 11                                     № 12

 20  13  6  5  34  33                22  13  9  3  35  29                22  13  6  3  35  32

 14  19  11  12  27  28            19  16  6  12  26  32              16  19  9  12  26  29

 35  30  15  16  7  8                30  33  14  20  4  10              33  30  14  17  7  10

 29  36  21  22  1  2                27  36  17  23  1  7                27  36  20  23  1  4

 9  10  26  25  18  23              5  11  31  25  21  18              8  11  28  25  18  21

 4  3  32  31  24  17                8  2  34  28  24  15                5  2  34  31  24  15

 

 № 13                                     № 14                                      № 15

 29  2  25  7  33  15                31  4  21  3  35  17                 23  2  31  13  30  12  

 20  11  16  34  6  24              22  13  12  30  8  26               20  5  16  34  9  27   

 18  27  5  23  10  28              18  27  5  23  10  28               18  33  8  26  4  22   

 9  36  14  32  1  19                9  36  14  32  1  19                 15  36  11  29  1  19  

 13  31  21  3  26  17              11  29  25  7  24  15               10  28  21  3  32  17   

 22  4  30  12  35  8                20  2  34  16  33  6                 25  7  24  6  35  14   

 

 № 16                                     № 17                                     № 18

 28  7  21  3  35  17                22  3  31  13  30  12               26  7  23  5  34  16   

 25  10  6  24  14  32              21  4  14  32  11  29               25  8  6  24  15  33   

 18  33  8  26  4  22                18  35  9  27  2  20                 18  35  9  27  2  20   

 15  36  11  29  1  19              17  36  10  28  1  19               17  36  10  28  1  19   

 5  23  31  13  27  12              8  26  23  5  33  16                 4  22  31  13  29  12   

 20  2  34  16  30  9                25  7  24  6  34  15                 21  3  32  14  30  11   

 

№ 19                                      № 20                                      № 21

 29  2  16  7  33  24                31  4  12  3  35  26                 23  2  16  13  30  27   

 11  20  25  34  6  15              13  22  21  30  8  17               5  20  31  34  9  12

 27  18  5  14  19  28              27  18  5  14  19  28               33  18  8  11  19  22

 9  36  23  32  1  10                9  36  23  32  1  10                 15  36  26  29  1  4   

 22  31  12  3  17  26              20  29  16  7  15  24               25  28  6  3  17  32   

 13  4  30  21  35  8                11  2  34  25  33  6                 10  7  24  21  35  14  

 

 № 22                                     № 23                                     № 24

 28  7  6  3  35  32                  22  3  14  13  30  29               26  7  6  5  34  33   

 10  25  21  24  14  17            4  21  31  32  11  12               8  25  23  24  15  16   

 33  18  8  11  19  22              35  18  9  10  19  20               35  18  9  10  19  20

 15  36  26  29  1  4                17  36  27  28  1  2                 17  36  27  28  1  2

 20  23  16  13  12  27            25  26  6  5  16  33                 21  22  14  13  12  29

 5  2  34  31  30  9                  8  7  24  23  34  15                 4  3  32  31  30  11

 

По этой же программе построила шесть квадратов для примера с квадратом из книги. Вот они:

 

№ 1                                        № 2                                       № 3

 6  7  26  27  22  23                5  8  28  31  18  21                14  15  10  11  30  31

 8  5  28  25  24  21                11  2  34  25  24  15               16  13  12  9  32  29  

 34  35  18  19  2  3                30  33  17  20  4  7                 34  35  18  19  2  3

 36  33  17  20  4  1                36  27  14  23  10  1               36  33  17  20  4  1

 14  15  10  11  30  31            16  19  6  9  29  32                 6  7  26  27  22  23  

 13  16  12  9  29  32              13  22  12  3  26  35               5  8  28  25  21  24

 

№ 4                                        № 5                                        № 6 

 16  19  6  9  29  32                11  20  16  25  15  24             13  22  12  21  17  26

 22  13  12  3  35  26              29  2  34  7  33  6                   31  4  30  3  35  8

 30  33  17  20  4  7                18  27  14  23  10  19             18  27  14  23  10  19

 36  27  14  23  10  1              36  9  5  32  28  1                   36  9  5  32  28  1

 5  8  28  31  18  21                13  22  12  21  17  26             11  20  16  25  15  24  

 2  11  34  25  15  24              4  31  30  3  8  35                  2  29  34  7  6  33

 

Квадрат под № 1 – это квадрат из книги. Обобщённый метод сотовых квадратов позволил построить ещё пять новых магических квадратов, причём все эти квадраты различные (не эквивалентные). А в некоторых случаях, как в примере из статьи и в примере, рассмотренном здесь, обобщённый метод позволяет построить 24 различных магических квадрата.

 

***

 

Далее аналогичный метод рассматривается для квадратов 10-ого порядка, вот на этой странице:

 

http://www.grogono.com/magic/10x10.php

 

Но изложен он очень кратко; как я поняла, автор ссылается на аналогию с квадратами 6-ого порядка. Вот для начала посмотрите на сотовый магический квадрат 10-ого порядка, приведённый в этой статье (рис. 25):

 

 

Рис. 25

 

Хорошо бы подробно разработать обобщение метода сотовых квадратов для построения магических квадратов 10-ого порядка аналогично квадратам 6-ого порядка. Возможно, займусь этим. Предлагаю читателям сделать это самостоятельно. Интересная задача! А решается она по аналогии с квадратами 6-ого порядка, для которых метод подробно изложен выше. Конечно, надо внимательно прочитать указанную веб-страницу. Для тех, кто знает английский язык, это не проблема. Например, такой конкретный вопрос: сколько вариантов магических квадратов для квадрата с рис. 25 можно построить обобщённым методом сотовых квадратов? В статье не приводится таблица варьирования коэффициентов, подобная таблице, изображённой на рис. 9.

Не забудьте также прочитать мою статью “Методы построения магических квадратов”, в которой вы найдёте подробное изложение метода сотовых квадратов. Это следующие страницы:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/metody5.htm

http://www.natalimak1.narod.ru/metody6.htm

 

***

 

Вчера распечатала указанную выше веб-страницу и попыталась разобраться в построении сотового квадрата 10-ого порядка. Всё поняла и продолжаю изложение обобщённого метода сотовых квадратов. Интересный метод!

 

Итак, на рис. 25 вы видите копию сотового квадрата 10-ого порядка из указанной статьи. Здесь будет подробно рассказано, как он построен и как получить варианты этого магического квадрата.

 

Примечание: если кто-то заглянет на указанную веб-страницу, то увидит, что квадрат на рис. 25 не совсем совпадает с тем, который приведён на веб-странице. Там автор, видимо, немного напутал. Потому что из приведённых им вспомогательных квадратов строится квадрат, изображённый на рис. 25, а не квадрат, который привёл автор статьи. Проверьте сами!

 

Начнём с построения первого вспомогательного квадрата. Для его построения методом сотовых квадратов надо взять в качестве исходного любой магический квадрат 5-ого порядка. В статье взят такой исходный квадрат (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

Алгоритм построения первого вспомогательного квадрата на основе исходного квадрата в цитируемой статье отличается от алгоритма в методе сотовых квадратов по книге Чебракова, хотя исходным в обоих случаях является магический квадрат 5-ого порядка. Здесь вспомогательный квадрат строится из двух ортогональных латинских квадратов [это хорошо видно и в построении первого вспомогательного квадрата 6-ого порядка (см. рис. 7)], только в этих латинских квадратах каждая ячейка превращена в квадрат 2х2 и в этот квадрат записано число из заменяемой ячейки. Поэтому сначала разложим исходный магический квадрат 5-ого порядка на два ортогональных латинских квадрата (рис. 27 и рис. 28):

 

 

Рис. 27

 

 

Рис. 28

 

И вот схема построения первого вспомогательного квадрата (рис. 29):

 

 

Рис. 29

 

Интересно заметить, что магический квадрат 5-ого порядка строится из латинских квадратов (рис. 27 и рис. 28) по формуле 5*А + В. В схеме построения вспомогательного квадрата 10-ого порядка коэффициенты увеличились в 4 раза. То же самое мы видели при построении вспомогательного квадрата 6-ого порядка (см. рис. 7).

 

Понятно, что построение по алгоритму метода сотовых квадратов даёт точно такой же первый вспомогательный квадрат при том же исходном квадрате 5-ого порядка (рис. 24).

 

Переходим к построению второго вспомогательного квадрата. Как помнят читатели, он тоже строится из двух квадратов – С и D. Теперь я поняла, как надо составить эти квадраты. Для построения магического квадрата 6-ого порядка их лучше всего составить так, чтобы они были нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 3 (квадраты заполняются нулями и единицами). Хотя мы видели, что можно составить эти квадраты без соблюдения данного условия (см. пример с квадратом из книги Чебракова). Для построения магического квадрата 10-ого порядка квадраты С и D лучше всего составить так, чтобы они являлись нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 5. В рассматриваемом примере это будут такие квадраты (рис. 30) [копирую]: