СОТОВЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Часть III

 

Сотовые магические квадраты оказались настолько интересной темой, что продолжаю статью о них. В предыдущей части статьи я остановилась на построении сотового магического квадрата 14-ого порядка обобщённым методом сотовых квадратов. Конечно, не смогла удержаться, чтобы не попробовать построить такой квадрат. Интересно! Приведу только один пример. Построения полностью аналогичны построениям для квадратов 6-ого и 10-ого порядка.

В качестве исходного квадрата 7-ого порядка возьмём следующий магический квадрат (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

Разложив этот магический квадрат на два латинских ортогональных квадрата и преобразовав их известным способом, получаем такую схему построения первого вспомогательного квадрата (рис. 2):

 

 

 

Рис. 2

 

Примечание: вообще говоря, можно сразу составить два ортогональных латинских квадрата для магического квадрата 7-ого порядка одним из известных способов (см., например, метод латинских квадратов в статье “Методы построения магических квадратов”), чтобы не раскладывать исходный магический квадрат 7-ого порядка на латинские квадраты. Я так и поступила.

 

Первый вспомогательный квадрат построен. Он является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 1344. Данный этап ни у кого не вызовет затруднений, алгоритм этого этапа очень простой. Теперь выполним второй этап – построение второго вспомогательного квадрата. Здесь самое сложное – сочинить два квадрата С и D, из которых составляется второй вспомогательный квадрат. Я сочинила эти квадраты по аналогии с такими квадратами 10-ого порядка. На рис. 3 показана схема составления второго вспомогательного квадрата.

 

 

 

Рис. 3

 

Второй вспомогательный квадрат, как и должно быть, составлен из квадратов 2х2, заполненных числами 0, 1, 2, 3. Он является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 21. Всё готово для построения сотового магического квадрата 14-ого порядка. Сложим поэлементно вспомогательные квадраты, увеличив сразу на единицу каждый полученный элемент магического квадрата. Готовый сотовый магический квадрат 14-ого порядка показан на рис. 4.

 

 

Рис. 4

 

Этот сотовый магический квадрат мог быть построен и методом сотовых квадратов. Но нам надо получить варианты, тогда можно говорить, что мы применили обобщённый метод сотовых квадратов. Из рис. 2-3 очевидно, что данный сотовый магический квадрат получен из составляющих компонентов A, B, C, D по формуле: 28*А + 4*В + 2*С + D (для приведения квадрата к традиционному виду к каждому элементу магического квадрата прибавляется единица, что вообще говоря делать не обязательно). Теперь нам предстоит найти все варианты других комбинаций коэффициентов и таким образом мы получим варианты магических квадратов, построенных с теми же компонентами А, В, С и D. Разумеется, эту задачу предлагаю решить компьютеру.

На рис. 5 вы видите таблицу коэффициентов, а далее выданные программой варианты квадратов.

 

 

Рис. 5

 

24 варианта квадратов 14-ого порядка:

 

 

1

 1  7  49  98

 

 102  53  155  57  163  65  178  80  138  40  146  48  126  28

 151  4  8  106  16  114  31  129  89  187  97  195  77  175

 112  63  67  165  78  176  86  184  45  143  26  124  6  104

 161  14  18  116  29  127  37  135  94  192  75  173  55  153

 118  69  84  182  88  186  92  190  23  121  3  101  12  110

 167  20  35  133  39  137  43  141  72  170  52  150  61  159

 33  180  90  188  98  196  74  172  1  99  9  107  17  115

 82  131  41  139  49  147  25  123  50  148  58  156  66  164

 38  185  194  96  174  76  154  56  109  11  113  15  128  30

 87  136  145  47  125  27  105  7  158  60  162  64  177  79

 44  191  171  73  152  54  160  62  119  21  130  32  134  36

 93  142  122  24  103  5  111  13  168  70  179  81  183  85

 22  120  100  2  108  10  166  68  181  83  189  91  193  46

 169  71  149  51  157  59  117  19  132  34  140  42  144  95

 

 2

 1  7  98  49

 

 53  102  155  106  163  114  178  129  89  40  97  48  77  28

 151  4  8  57  16  65  31  80  138  187  146  195  126  175

 63  112  116  165  127  176  135  184  45  94  26  75  6  55

 161  14  18  67  29  78  37  86  143  192  124  173  104  153

 69  118  133  182  137  186  141  190  23  72  3  52  12  61

 167  20  35  84  39  88  43  92  121  170  101  150  110  159

 33  180  139  188  147  196  123  172  1  50  9  58  17  66

 131  82  41  90  49  98  25  74  99  148  107  156  115  164

 38  185  194  145  174  125  154  105  60  11  64  15  79  30

 136  87  96  47  76  27  56  7  158  109  162  113  177  128

 44  191  171  122  152  103  160  111  70  21  81  32  85  36

 142  93  73  24  54  5  62  13  168  119  179  130  183  134

 22  71  51  2  59  10  166  117  181  132  189  140  193  46

 169  120  149  100  157  108  68  19  83  34  91  42  95  144

 

 3

 1  14  7  98

 

 102  11  120  22  135  37  164  66  173  75  188  90  147  49

 109  4  15  113  30  128  59  157  82  180  97  195  56  154

 119  28  39  137  64  162  79  177  87  185  47  145  6  104

 126  21  32  130  57  155  72  170  94  192  54  152  13  111

 132  41  70  168  81  179  92  190  44  142  3  101  19  117

 139  34  63  161  74  172  85  183  51  149  10  108  26  124

 61  166  83  181  98  196  53  151  1  99  16  114  31  129

 68  159  76  174  91  189  46  144  8  106  23  121  38  136

 73  178  194  96  153  55  112  14  116  18  127  29  156  58

 80  171  187  89  146  48  105  7  123  25  134  36  163  65

 86  191  150  52  110  12  125  27  133  35  158  60  169  71

 93  184  143  45  103  5  118  20  140  42  165  67  176  78

 43  141  100  2  115  17  138  40  167  69  182  84  193  88

 148  50  107  9  122  24  131  33  160  62  175  77  186  95

 

 4

 1  14  98  7

 

 11  102  120  113  135  128  164  157  82  75  97  90  56  49

 109  4  15  22  30  37  59  66  173  180  188  195  147  154

 28  119  130  137  155  162  170  177  87  94  47  54  6  13

 126  21  32  39  57  64  72  79  185  192  145  152  104  111

 41  132  161  168  172  179  183  190  44  51  3  10  19  26

 139  34  63  70  74  81  85  92  142  149  101  108  117  124

 61  166  174  181  189  196  144  151  1  8  16  23  31  38

 159  68  76  83  91  98  46  53  99  106  114  121  129  136

 73  178  194  187  153  146  112  105  25  18  36  29  65  58

 171  80  96  89  55  48  14  7  123  116  134  127  163  156

 86  191  150  143  110  103  125  118  42  35  67  60  78  71

 184  93  52  45  12  5  27  20  140  133  165  158  176  169

 43  50  9  2  24  17  138  131  167  160  182  175  193  88

 148  141  107  100  122  115  40  33  69  62  84  77  95  186

 

 5

 1  28  7  14

 

 18  11  50  36  79  65  136  122  159  145  188  174  105  91

 25  4  29  43  58  72  115  129  152  166  181  195  98  112

 49  42  67  81  120  134  149  163  171  185  89  103  6  20

 56  35  60  74  113  127  142  156  178  192  96  110  13  27

 76  69  126  140  151  165  176  190  86  100  3  17  33  47

 83  62  119  133  144  158  169  183  93  107  10  24  40  54

 117  138  153  167  182  196  95  109  1  15  30  44  59  73

 124  131  146  160  175  189  88  102  8  22  37  51  66  80

 143  164  194  180  111  97  28  14  46  32  71  57  128  114

 150  157  187  173  104  90  21  7  53  39  78  64  135  121

 170  191  108  94  26  12  55  41  77  63  130  116  155  141

 177  184  101  87  19  5  48  34  84  70  137  123  162  148

 85  99  16  2  45  31  82  68  139  125  168  154  193  172

 106  92  23  9  52  38  75  61  132  118  161  147  186  179

 

 6

 1  28  14  7

 

 11  18  50  43  79  72  136  129  152  145  181  174  98  91

 25  4  29  36  58  65  115  122  159  166  188  195  105  112

 42  49  74  81  127  134  156  163  171  178  89  96  6  13

 56  35  60  67  113  120  142  149  185  192  103  110  20  27

 69  76  133  140  158  165  183  190  86  93  3  10  33  40

 83  62  119  126  144  151  169  176  100  107  17  24  47  54

 117  138  160  167  189  196  102  109  1  8  30  37  59  66

 131  124  146  153  175  182  88  95  15  22  44  51  73  80

 143  164  194  187  111  104  28  21  39  32  64  57  121  114

 157  150  180  173  97  90  14  7  53  46  78  71  135  128

 170  191  108  101  26  19  55  48  70  63  123  116  148  141

 184  177  94  87  12  5  41  34  84  77  137  130  162  155

 85  92  9  2  38  31  82  75  139  132  168  161  193  172

 106  99  23  16  52  45  68  61  125  118  154  147  179  186

 

 7

 2  14  1  98

 

 105  8  114  16  130  32  160  62  177  79  193  95  153  55

 106  7  15  113  31  129  61  159  80  178  96  194  56  154

 125  28  36  134  58  156  74  172  89  187  51  149  11  109

 126  27  35  133  57  155  73  171  90  188  52  150  12  110

 137  40  70  168  78  176  86  184  45  143  5  103  23  121

 138  39  69  167  77  175  85  183  46  144  6  104  24  122

 65  164  82  180  98  196  50  148  1  99  17  115  33  131

 66  163  81  179  97  195  49  147  2  100  18  116  34  132

 75  174  192  94  152  54  112  14  119  21  127  29  157  59

 76  173  191  93  151  53  111  13  120  22  128  30  158  60

 87  186  146  48  108  10  124  26  139  41  161  63  169  71

 88  185  145  47  107  9  123  25  140  42  162  64  170  72

 43  141  101  3  117  19  136  38  166  68  182  84  190  91

 142  44  102  4  118  20  135  37  165  67  181  83  189  92

 

 8

 2  14  98  1

 

 8  105  114  113  130  129  160  159  80  79  96  95  56  55

 106  7  15  16  31  32  61  62  177  178  193  194  153  154

 28  125  133  134  155  156  171  172  89  90  51  52  11  12

 126  27  35  36  57  58  73  74  187  188  149  150  109  110

 40  137  167  168  175  176  183  184  45  46  5  6  23  24

 138  39  69  70  77  78  85  86  143  144  103  104  121  122

 65  164  179  180  195  196  147  148  1  2  17  18  33  34

 163  66  81  82  97  98  49  50  99  100  115  116  131  132

 75  174  192  191  152  151  112  111  22  21  30  29  60  59

 173  76  94  93  54  53  14  13  120  119  128  127  158  157

 87  186  146  145  108  107  124  123  42  41  64  63  72  71

 185  88  48  47  10  9  26  25  140  139  162  161  170  169

 43  44  4  3  20  19  136  135  166  165  182  181  190  91

 142  141  102  101  118  117  38  37  68  67  84  83  92  189

 

 9

 2  28  1  14

 

 21  8  44  30  74  60  132  118  163  149  193  179  111  97

 22  7  29  43  59  73  117  131  150  164  180  194  98  112

 55  42  64  78  114  128  144  158  173  187  93  107  11  25

 56  41  63  77  113  127  143  157  174  188  94  108  12  26

 81  68  126  140  148  162  170  184  87  101  5  19  37  51

 82  67  125  139  147  161  169  183  88  102  6  20  38  52

 121  136  152  166  182  196  92  106  1  15  31  45  61  75

 122  135  151  165  181  195  91  105  2  16  32  46  62  76

 145  160  192  178  110  96  28  14  49  35  71  57  129  115

 146  159  191  177  109  95  27  13  50  36  72  58  130  116

 171  186  104  90  24  10  54  40  83  69  133  119  155  141

 172  185  103  89  23  9  53  39  84  70  134  120  156  142

 85  99  17  3  47  33  80  66  138  124  168  154  190  175

 100  86  18  4  48  34  79  65  137  123  167  153  189  176

 

 10

 2  28  14  1

 

 8  21  44  43  74  73  132  131  150  149  180  179  98  97

 22  7  29  30  59  60  117  118  163  164  193  194  111  112

 42  55  77  78  127  128  157  158  173  174  93  94  11  12

 56  41  63  64  113  114  143  144  187  188  107  108  25  26

 68  81  139  140  161  162  183  184  87  88  5  6  37  38

 82  67  125  126  147  148  169  170  101  102  19  20  51  52

 121  136  165  166  195  196  105  106  1  2  31  32  61  62

 135  122  151  152  181  182  91  92  15  16  45  46  75  76

 145  160  192  191  110  109  28  27  36  35  58  57  116  115

 159  146  178  177  96  95  14  13  50  49  72  71  130  129

 171  186  104  103  24  23  54  53  70  69  120  119  142  141

 185  172  90  89  10  9  40  39  84  83  134  133  156  155

 85  86  4  3  34  33  80  79  138  137  168  167  190  175

 100  99  18  17  48  47  66  65  124  123  154  153  176  189

 

 11

 4  28  1  2

 

 15  14  32  30  64  62  124  122  159  157  191  189  111  109

 16  13  29  31  61  63  121  123  158  160  190  192  110  112

 55  54  70  72  114  116  146  148  177  179  101  103  21  23

 56  53  69  71  113  115  145  147  178  180  102  104  22  24

 79  78  138  140  154  156  170  172  89  91  9  11  45  47

 80  77  137  139  153  155  169  171  90  92  10  12  46  48

 129  132  162  164  194  196  98  100  1  3  33  35  65  67

 130  131  161  163  193  195  97  99  2  4  34  36  66  68

 149  152  188  186  108  106  28  26  43  41  59  57  119  117

 150  151  187  185  107  105  27  25  44  42  60  58  120  118

 173  176  96  94  20  18  52  50  83  81  127  125  143  141

 174  175  95  93  19  17  51  49  84  82  128  126  144  142

 85  87  7  5  39  37  76  74  136  134  168  166  184  181

 88  86  8  6  40  38  75  73  135  133  167  165  183  182

 

 12

 4  28  2  1

 

 14  15  32  31  64  63  124  123  158  157  190  189  110  109

 16  13  29  30  61  62  121  122  159  160  191  192  111  112

 54  55  71  72  115  116  147  148  177  178  101  102  21  22

 56  53  69  70  113  114  145  146  179  180  103  104  23  24

 78  79  139  140  155  156  171  172  89  90  9  10  45  46

 80  77  137  138  153  154  169  170  91  92  11  12  47  48

 129  132  163  164  195  196  99  100  1  2  33  34  65  66

 131  130  161  162  193  194  97  98  3  4  35  36  67  68

 149  152  188  187  108  107  28  27  42  41  58  57  118  117

 151  150  186  185  106  105  26  25  44  43  60  59  120  119

 173  176  96  95  20  19  52  51  82  81  126  125  142  141

 175  174  94  93  18  17  50  49  84  83  128  127  144  143

 85  86  6  5  38  37  76  75  136  135  168  167  184  181

 88  87  8  7  40  39  74  73  134  133  166  165  182  183

 

 13

 7  1  49  98

 

 120  71  149  51  157  59  166  68  132  34  140  42  144  46

 169  22  2  100  10  108  19  117  83  181  91  189  95  193

 142  93  73  171  54  152  62  160  21  119  32  130  36  134

 191  44  24  122  5  103  13  111  70  168  81  179  85  183

 136  87  96  194  76  174  56  154  11  109  15  113  30  128

 185  38  47  145  27  125  7  105  60  158  64  162  79  177

 33  180  90  188  98  196  74  172  1  99  9  107  17  115

 82  131  41  139  49  147  25  123  50  148  58  156  66  164

 20  167  182  84  186  88  190  92  121  23  101  3  110  12

 69  118  133  35  137  39  141  43  170  72  150  52  159  61

 14  161  165  67  176  78  184  86  143  45  124  26  104  6

 63  112  116  18  127  29  135  37  192  94  173  75  153  55

 4  102  106  8  114  16  178  80  187  89  195  97  175  28

 151  53  155  57  163  65  129  31  138  40  146  48  126  77

 

 14

 7  1  98  49

 

 71  120  149  100  157  108  166  117  83  34  91  42  95  46

 169  22  2  51  10  59  19  68  132  181  140  189  144  193

 93  142  122  171  103  152  111  160  21  70  32  81  36  85

 191  44  24  73  5  54  13  62  119  168  130  179  134  183

 87  136  145  194  125  174  105  154  11  60  15  64  30  79

 185  38  47  96  27  76  7  56  109  158  113  162  128  177

 33  180  139  188  147  196  123  172  1  50  9  58  17  66

 131  82  41  90  49  98  25  74  99  148  107  156  115  164

 20  167  182  133  186  137  190  141  72  23  52  3  61  12

 118  69  84  35  88  39  92  43  170  121  150  101  159  110

 14  161  165  116  176  127  184  135  94  45  75  26  55  6

 112  63  67  18  78  29  86  37  192  143  173  124  153  104

 4  53  57  8  65  16  178  129  187  138  195  146  175  28

 151  102  155  106  163  114  80  31  89  40  97  48  77  126

 

 15

 14  1  7  98

 

 141  50  107  9  122  24  138  40  160  62  175  77  186  88

 148  43  2  100  17  115  33  131  69  167  84  182  95  193

 184  93  52  150  12  110  27  125  35  133  60  158  71  169

 191  86  45  143  5  103  20  118  42  140  67  165  78  176

 171  80  96  194  55  153  14  112  18  116  29  127  58  156

 178  73  89  187  48  146  7  105  25  123  36  134  65  163

 61  166  83  181  98  196  53  151  1  99  16  114  31  129

 68  159  76  174  91  189  46  144  8  106  23  121  38  136

 34  139  168  70  179  81  190  92  142  44  101  3  117  19

 41  132  161  63  172  74  183  85  149  51  108  10  124  26

 21  126  137  39  162  64  177  79  185  87  145  47  104  6

 28  119  130  32  155  57  170  72  192  94  152  54  111  13

 4  102  113  15  128  30  164  66  180  82  195  97  154  49

 109  11  120  22  135  37  157  59  173  75  188  90  147  56

 

 16

 14  1  98  7

 

 50  141  107  100  122  115  138  131  69  62  84  77  95  88

 148  43  2  9  17  24  33  40  160  167  175  182  186  193

 93  184  143  150  103  110  118  125  35  42  60  67  71  78

 191  86  45  52  5  12  20  27  133  140  158  165  169  176

 80  171  187  194  146  153  105  112  18  25  29  36  58  65

 178  73  89  96  48  55  7  14  116  123  127  134  156  163

 61  166  174  181  189  196  144  151  1  8  16  23  31  38

 159  68  76  83  91  98  46  53  99  106  114  121  129  136

 34  139  168  161  179  172  190  183  51  44  10  3  26  19

 132  41  70  63  81  74  92  85  149  142  108  101  124  117

 21  126  137  130  162  155  177  170  94  87  54  47  13  6

 119  28  39  32  64  57  79  72  192  185  152  145  111  104

 4  11  22  15  37  30  164  157  180  173  195  188  154  49

 109  102  120  113  135  128  66  59  82  75  97  90  56  147

 

 17

 14  2  1  98

 

 141  44  102  4  118  20  136  38  165  67  181  83  189  91

 142  43  3  101  19  117  37  135  68  166  84  182  92  190

 185  88  48  146  10  108  26  124  41  139  63  161  71  169

 186  87  47  145  9  107  25  123  42  140  64  162  72  170

 173  76  94  192  54  152  14  112  21  119  29  127  59  157

 174  75  93  191  53  151  13  111  22  120  30  128  60  158

 65  164  82  180  98  196  50  148  1  99  17  115  33  131

 66  163  81  179  97  195  49  147  2  100  18  116  34  132

 39  138  168  70  176  78  184  86  143  45  103  5  121  23

 40  137  167  69  175  77  183  85  144  46  104  6  122  24

 27  126  134  36  156  58  172  74  187  89  149  51  109  11

 28  125  133  35  155  57  171  73  188  90  150  52  110  12

 7  105  113  15  129  31  160  62  178  80  194  96  154  55

 106  8  114  16  130  32  159  61  177  79  193  95  153  56

 

 18

 14  2  98  1

 

 44  141  102  101  118  117  136  135  68  67  84  83  92  91

 142  43  3  4  19  20  37  38  165  166  181  182  189  190

 88  185  145  146  107  108  123  124  41  42  63  64  71  72

 186  87  47  48  9  10  25  26  139  140  161  162  169  170

 76  173  191  192  151  152  111  112  21  22  29  30  59  60

 174  75  93  94  53  54  13  14  119  120  127  128  157  158

 65  164  179  180  195  196  147  148  1  2  17  18  33  34

 163  66  81  82  97  98  49  50  99  100  115  116  131  132

 39  138  168  167  176  175  184  183  46  45  6  5  24  23

 137  40  70  69  78  77  86  85  144  143  104  103  122  121

 27  126  134  133  156  155  172  171  90  89  52  51  12  11

 125  28  36  35  58  57  74  73  188  187  150  149  110  109

 7  8  16  15  32  31  160  159  178  177  194  193  154  55

 106  105  114  113  130  129  62  61  80  79  96  95  56  153

 

 19

 28  1  7  14

 

 99  92  23  9  52  38  82  68  132  118  161  147  186  172

 106  85  2  16  31  45  61  75  125  139  154  168  179  193

 184  177  94  108  12  26  41  55  63  77  116  130  141  155

 191  170  87  101  5  19  34  48  70  84  123  137  148  162

 157  150  180  194  97  111  14  28  32  46  57  71  114  128

 164  143  173  187  90  104  7  21  39  53  64  78  121  135

 117  138  153  167  182  196  95  109  1  15  30  44  59  73

 124  131  146  160  175  189  88  102  8  22  37  51  66  80

 62  83  140  126  165  151  190  176  100  86  17  3  47  33

 69  76  133  119  158  144  183  169  107  93  24  10  54  40

 35  56  81  67  134  120  163  149  185  171  103  89  20  6

 42  49  74  60  127  113  156  142  192  178  110  96  27  13

 4  18  43  29  72  58  136  122  166  152  195  181  112  91

 25  11  50  36  79  65  129  115  159  145  188  174  105  98

 

 20

 28  1  14  7

 

 92  99  23  16  52  45  82  75  125  118  154  147  179  172

 106  85  2  9  31  38  61  68  132  139  161  168  186  193

 177  184  101  108  19  26  48  55  63  70  116  123  141  148

 191  170  87  94  5  12  34  41  77  84  130  137  155  162

 150  157  187  194  104  111  21  28  32  39  57  64  114  121

 164  143  173  180  90  97  7  14  46  53  71  78  128  135

 117  138  160  167  189  196  102  109  1  8  30  37  59  66

 131  124  146  153  175  182  88  95  15  22  44  51  73  80

 62  83  140  133  165  158  190  183  93  86  10  3  40  33

 76  69  126  119  151  144  176  169  107  100  24  17  54  47

 35  56  81  74  134  127  163  156  178  171  96  89  13  6

 49  42  67  60  120  113  149  142  192  185  110  103  27  20

 4  11  36  29  65  58  136  129  166  159  195  188  112  91

 25  18  50  43  79  72  122  115  152  145  181  174  98  105

 

 21

 28  2  1  14

 

 99  86  18  4  48  34  80  66  137  123  167  153  189  175

 100  85  3  17  33  47  65  79  124  138  154  168  176  190

 185  172  90  104  10  24  40  54  69  83  119  133  141  155

 186  171  89  103  9  23  39  53  70  84  120  134  142  156

 159  146  178  192  96  110  14  28  35  49  57  71  115  129

 160  145  177  191  95  109  13  27  36  50  58  72  116  130

 121  136  152  166  182  196  92  106  1  15  31  45  61  75

 122  135  151  165  181  195  91  105  2  16  32  46  62  76

 67  82  140  126  162  148  184  170  101  87  19  5  51  37

 68  81  139  125  161  147  183  169  102  88  20  6  52  38

 41  56  78  64  128  114  158  144  187  173  107  93  25  11

 42  55  77  63  127  113  157  143  188  174  108  94  26  12

 7  21  43  29  73  59  132  118  164  150  194  180  112  97

 22  8  44  30  74  60  131  117  163  149  193  179  111  98

 

 22

 28  2  14  1

 

 86  99  18  17  48  47  80  79  124  123  154  153  176  175

 100  85  3  4  33  34  65  66  137  138  167  168  189  190

 172  185  103  104  23  24  53  54  69  70  119  120  141  142

 186  171  89  90  9  10  39  40  83  84  133  134  155  156

 146  159  191  192  109  110  27  28  35  36  57  58  115  116

 160  145  177  178  95  96  13  14  49  50  71  72  129  130

 121  136  165  166  195  196  105  106  1  2  31  32  61  62

 135  122  151  152  181  182  91  92  15  16  45  46  75  76

 67  82  140  139  162  161  184  183  88  87  6  5  38  37

 81  68  126  125  148  147  170  169  102  101  20  19  52  51

 41  56  78  77  128  127  158  157  174  173  94  93  12  11

 55  42  64  63  114  113  144  143  188  187  108  107  26  25

 7  8  30  29  60  59  132  131  164  163  194  193  112  97

 22  21  44  43  74  73  118  117  150  149  180  179  98  111

 

 23

 28  4  1  2

 

 87  86  8  6  40  38  76  74  135  133  167  165  183  181

 88  85  5  7  37  39  73  75  134  136  166  168  182  184

 175  174  94  96  18  20  50  52  81  83  125  127  141  143

 176  173  93  95  17  19  49  51  82  84  126  128  142  144

 151  150  186  188  106  108  26  28  41  43  57  59  117  119

 152  149  185  187  105  107  25  27  42  44  58  60  118  120

 129  132  162  164  194  196  98  100  1  3  33  35  65  67

 130  131  161  163  193  195  97  99  2  4  34  36  66  68

 77  80  140  138  156  154  172  170  91  89  11  9  47  45

 78  79  139  137  155  153  171  169  92  90  12  10  48  46

 53  56  72  70  116  114  148  146  179  177  103  101  23  21

 54  55  71  69  115  113  147  145  180  178  104  102  24  22

 13  15  31  29  63  61  124  122  160  158  192  190  112  109

 16  14  32  30  64  62  123  121  159  157  191  189  111  110

 

 24

 28  4  2  1

 

 86  87  8  7  40  39  76  75  134  133  166  165  182  181

 88  85  5  6  37  38  73  74  135  136  167  168  183  184

 174  175  95  96  19  20  51  52  81  82  125  126  141  142

 176  173  93  94  17  18  49  50  83  84  127  128  143  144

 150  151  187  188  107  108  27  28  41  42  57  58  117  118

 152  149  185  186  105  106  25  26  43  44  59  60  119  120

 129  132  163  164  195  196  99  100  1  2  33  34  65  66

 131  130  161  162  193  194  97  98  3  4  35  36  67  68

 77  80  140  139  156  155  172  171  90  89  10  9  46  45

 79  78  138  137  154  153  170  169  92  91  12  11  48  47

 53  56  72  71  116  115  148  147  178  177  102  101  22  21

 55  54  70  69  114  113  146  145  180  179  104  103  24  23

 13  14  30  29  62  61  124  123  160  159  192  191  112  109

 16  15  32  31  64  63  122  121  158  157  190  189  110  111

 

Программа выдала: номер варианта, коэффициенты при матрицах A, B, C, D соответственно и магический квадрат данного варианта.

Как видим, и для квадрата 14-ого порядка получилось 24 варианта.

Новую группу квадратов 14-ого порядка легко построить таким простым приёмом (он уже был показан в предыдущей части статьи): заменим в квадратах C и D (рис. 3) все нули на единицы, а все единицы на нули. Квадраты А и В можно оставить те же самые, а можно тоже взять другие (то есть взять другой исходный магический квадрат 7-ого порядка). Применив таблицу коэффициентов с рис. 5, получим новую группу из 24 магических квадратов.

 

***

 

ОБОБЩЁННЫЙ МЕТОД СОТОВЫХ КВАДРАТОВ ДЛЯ ПОРЯДКОВ n=8k

 

Как помнят читатели, метод сотовых квадратов рассматривается для трёх случаев:

а) для квадратов порядков n = 4k + 2, k = 1, 2, 3, …

         б) для квадратов порядков n = 8k, k = 1, 2, 3, …

в) для квадратов порядков n = 8k + 4, k = 1, 2, 3, …

 

И самым интересным случаем является последний, так как только сотовые квадраты данной серии порядков могут быть ассоциативными, пандиагональными и идеальными. Построение таких сотовых квадратов уже было показано. А сейчас рассмотрим обобщённый метод сотовых квадратов для данной серии порядков. Начнём с построения сотового магического квадрата 8-ого порядка. В качестве исходного магического квадрата 4-ого порядка возьмём следующий квадрата (рис. 6):

 

 

Рис. 6

 

Этот квадрат совершенный. Схема построения первого вспомогательного квадрата на основе данного исходного квадрата показана на рис. 7.

 

 

Рис. 7

 

Квадраты C и D сочиняю сама, и на рис. 8 вы видите схему составления второго вспомогательного квадрата.

 

 

Рис. 8

 

Оба вспомогательных квадрата являются нетрадиционными магическими квадратами. Кроме того, оба они обладают свойствами пандиагональности и комплементарности. Готовый сотовый магический квадрат, полученный из этих вспомогательных квадратов, показан на рис. 9.

 

 

Рис. 9

 

Этот сотовый квадрат пандиагональный и обладает свойством комплементарности, присущим совершенным квадратам. Сумма чисел в угловых ячейках квадрата равна 130, как в совершенном квадрате. Только одно свойство совершенных квадратов не выполняется: сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна 130. В одной из предыдущих статей было показано, что в таком почти совершенном квадрате указанное свойство выполняется в его “блочной свёртке”.

Теперь нам надо получить варианты для этого магического квадрата. Составляю программу м получаю таблицу коэффициентов и все соответствующие магические квадраты.

На рис. 10 вы видите таблицу коэффициентов, а дальше 24 магических квадрата, построенных обобщённым методом сотовых квадратов.

 

 

Рис. 10

 

Легко увидеть, что квадрат, изображённый на рис. 9, соответствует варианту № 24.

 

24 варианта квадратов 8-ого порядка:

 

№ 1                                                    № 2

 1  4  16  32                                        1  4  32  16  

 

 33  49  62  30  20  4  15  47              17  49  62  46  36  4  15  31  

 17  1  14  46  36  52  63  31              33  1  14  30  20  52  63  47

 40  56  59  27  21  5  10  42               24  56  59  43  37  5  10  26

 24  8  11  43  37  53  58  26              40  8  11  27  21  53  58  42

 45  61  50  18  32  16  3  35               29  61  50  34  48  16  3  19

 29  13  2  34  48  64  51  19              45  13  2  18  32  64  51  35

 44  60  55  23  25  9  6  38                28  60  55  39  41  9  6  22  

 28  12  7  39  41  57  54  22              44  12  7  23  25  57  54  38  

 

№ 3                                                    № 4

 1  8  4  32                                          1  8  32  4  

 

 33  37  62  30  8  4  27  59                 5  37  62  58  36  4  27  31

 5  1  26  58  36  40  63  31                33  1  26  30  8  40  63  59

 44  48  55  23  13  9  18  50              16  48  55  51  41  9  18  22

 16  12  19  51  41  45  54  22            44  12  19  23  13  45  54  50  

 57  61  38  6  32  28  3  35                29  61  38  34  60  28  3  7  

 29  25  2  34  60  64  39  7                57  25  2  6  32  64  39  35  

 52  56  47  15  21  17  10  42            24  56  47  43  49  17  10  14  

 24  20  11  43  49  53  46  14            52  20  11  15  21  53  46  42

 

№ 5                                                    № 6

 1  16  4  8                                          1  16  8  4

 

 9  13  62  54  8  4  51  59                   5  13  62  58  12  4  51  55

 5  1  50  58  12  16  63  55                9  1  50  54  8  16  63  59

 28  32  47  39  21  17  34  42            24  32  47  43  25  17  34  38  

 24  20  35  43  25  29  46  38            28  20  35  39  21  29  46  42

 57  61  14  6  56  52  3  11                53  61  14  10  60  52  3  7  

 53  49  2  10  60  64  15  7                57  49  2  6  56  64  15  11

 44  48  31  23  37  33  18  26            40  48  31  27  41  33  18  22

 40  36  19  27  41  45  30  22            44  36  19  23  37  45  30  26  

 

№ 7                                                    № 8

 2  8  1  32                                          2  8  32  1

 

 33  34  60  28  8  7  29  61                2  34  60  59  39  7  29  30

 2  1  27  59  39  40  62  30                33  1  27  28  8  40  62  61  

 47  48  54  22  10  9  19  51              16  48  54  53  41  9  19  20  

 16  15  21  53  41  42  52  20            47  15  21  22  10  42  52  51  

 57  58  36  4  32  31  5  37                26  58  36  35  63  31  5  6  

 26  25  3  35  63  64  38  6                57  25  3  4  32  64  38  37  

 55  56  46  14  18  17  11  43            24  56  46  45  49  17  11  12  

 24  23  13  45  49  50  44  12            55  23  13  14  18  50  44  43  

 

№ 9                                                    № 10

 2  16  1  8                                          2  16  8  1  

 

 9  10  60  52  8  7  53  61                  2  10  60  59  15  7  53  54  

 2  1  51  59  15  16  62  54                9  1  51  52  8  16  62  61  

 31  32  46  38  18  17  35  43            24  32  46  45  25  17  35  36  

 24  23  37  45  25  26  44  36            31  23  37  38  18  26  44  43

 57  58  12  4  56  55  5  13                50  58  12  11  63  55  5  6  

 50  49  3  11  63  64  14  6                57  49  3  4  56  64  14  13

 47  48  30  22  34  33  19  27            40  48  30  29  41  33  19  20  

 40  39  21  29  41  42  28  20            47  39  21  22  34  42  28  27  

 

№ 11                                                  № 12

 4  1  16  32                                        4  1  32  16

 

 33  49  56  24  29  13  12  44            17  49  56  40  45  13  12  28

 17  1  8  40  45  61  60  28                33  1  8  24  29  61  60  44

 46  62  59  27  18  2  7  39                30  62  59  43  34  2  7  23

 30  14  11  43  34  50  55  23            46  14  11  27  18  50  55  39

 36  52  53  21  32  16  9  41              20  52  53  37  48  16  9  25

 20  4  5  37  48  64  57  25                36  4  5  21  32  64  57  41

 47  63  58  26  19  3  6  38                31  63  58  42  35  3  6  22

 31  15  10  42  35  51  54  22            47  15  10  26  19  51  54  38

 

№ 13                                                  № 14  

 4  16  1  2                                          4  16  2  1  

 

 3  4  56  54  14  13  57  59                2  4  56  55  15  13  57  58

 2  1  53  55  15  16  60  58                3  1  53  54  14  16  60  59

 31  32  44  42  18  17  37  39            30  32  44  43  19  17  37  38

 30  29  41  43  19  20  40  38            31  29  41  42  18  20  40  39

 51  52  8  6  62  61  9  11                  50  52  8  7  63  61  9  10

 50  49  5  7  63  64  12  10                51  49  5  6  62  64  12  11

 47  48  28  26  34  33  21  23            46  48  28  27  35  33  21  22

 46  45  25  27  35  36  24  22            47  45  25  26  34  36  24  23

 

№ 15                                                  № 16

 8  1  4  32                                          8  1  32  4

 

 33  37  48  16  29  25  20  52           5  37  48  44  57  25  20  24

 5  1  12  44  57  61  56  24                33  1  12  16  29  61  56  52

 58  62  55  23  6  2  11  43                30  62  55  51  34  2  11  15

 30  26  19  51  34  38  47  15            58  26  19  23  6  38  47  43

 36  40  45  13  32  28  17  49            8  40  45  41  60  28  17  21

 8  4  9  41  60  64  53  21                  36  4  9  13  32  64  53  49

 59  63  54  22  7  3  10  42                 31  63  54  50  35  3  10  14

 31  27  18  50  35  39  46  14            59  27  18  22  7  39  46  42

 

№ 17                                                  № 18

 8  2  1  32                                          8  2  32  1

 

 33  34  48  16  26  25  23  55            2  34  48  47  57  25  23  24

 2  1  15  47  57  58  56  24                33  1  15  16  26  58  56  55  

 59  60  54  22  4  3  13  45                28  60  54  53  35  3  13  14

 28  27  21  53  35  36  46  14            59  27  21  22  4  36  46  45

 39  40  42  10  32  31  17  49            8  40  42  41  63  31  17  18

 8  7  9  41  63  64  50  18                  39  7  9  10  32  64  50  49

 61  62  52  20  6  5  11  43                30  62  52  51  37  5  11  12

 30  29  19  51  37  38  44  12            61  29  19  20  6  38  44  43

 

№ 19                                                  № 20

 16  1  4  8                                          16  1  8  4

 

 9  13  32  24  53  49  36  44              5  13  32  28  57  49  36  40

 5  1  20  28  57  61  48  40                9  1  20  24  53  61  48  44

 58  62  47  39  6  2  19  27                54  62  47  43  10  2  19  23  

 54  50  35  43  10  14  31  23            58  50  35  39  6  14  31  27  

 12  16  29  21  56  52  33  41            8  16  29  25  60  52  33  37  

 8  4  17  25  60  64  45  37                12  4  17  21  56  64  45  41  

 59  63  46  38  7  3  18  26                55  63  46  42  11  3  18  22  

 55  51  34  42  11  15  30  22            59  51  34  38  7  15  30  26  

 

№ 21                                                  № 22  

 16  2  1  8                                          16  2  8  1

 

 9  10  32  24  50  49  39  47              2  10  32  31  57  49  39  40  

 2  1  23  31  57  58  48  40                9  1  23  24  50  58  48  47  

 59  60  46  38  4  3  21  29                52  60  46  45  11  3  21  22

 52  51  37  45  11  12  30  22            59  51  37  38  4  12  30  29  

 15  16  26  18  56  55  33  41            8  16  26  25  63  55  33  34  

 8  7  17  25  63  64  42  34                15  7  17  18  56  64  42  41  

 61  62  44  36  6  5  19  27                54  62  44  43  13  5  19  20  

 54  53  35  43  13  14  28  20            61  53  35  36  6  14  28  27  

 

№ 23                                                  № 24

 16  4  1  2                                          16  4  2  1

 

 3  4  32  30  50  49  45  47                 2  4  32  31  51  49  45  46

 2  1  29  31  51  52  48  46                 3  1  29  30  50  52  48  47

 55  56  44  42  6  5  25  27                54  56  44  43  7  5  25  26

 54  53  41  43  7  8  28  26                55  53  41  42  6  8  28  27  

 15  16  20  18  62  61  33  35            14  16  20  19  63  61  33  34

 14  13  17  19  63  64  36  34            15  13  17  18  62  64  36  35  

 59  60  40  38  10  9  21  23              58  60  40  39  11  9  21  22

 58  57  37  39  11  12  24  22            59  57  37  38  10  12  24  23  

 

***

 

На сайте, где я обнаружила обобщение метода сотовых квадратов для порядков 6 и 10, есть также страница, посвящённая построению пандиагональных квадратов 8-ого порядка. Но построение этих квадратов автор увёл в сторону от метода сотовых квадратов. Он составил общую матрицу для построения и построенные по этой матрице квадраты не являются сотовыми. (Данный матричный метод построения пандиагональных квадратов 8-ого порядка был подробно рассмотрен мной в одной из ранних статей). Вот ссылка на данную страницу:

http://www.grogono.com/magic/8x8.php

 

Но в этой статье есть варианты квадратов C и D, из которых составляется второй вспомогательный квадрат. Кстати сказать, среди этих вариантов нет пары квадратов C и D, представленной здесь (см. рис. 8).

 

***

 

Идеальный сотовый квадрат 16-ого порядка был построен мной в первой части настоящей статьи методом сотовых квадратов. Теперь выполню построение таких квадратов обобщённым методом сотовых квадратов.

 

Выполним сначала построение первого вспомогательного квадрата. Для этого возьмём в качестве исходного следующий идеальный квадрат 8-ого порядка (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

Разложим этот квадрат на два латинских ортогональных квадрата и получим следующую схему построения первого вспомогательного квадрата (рис. 12):