Н. Макарова
НАИМЕНЬШИЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ИЗ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Часть II
Данная страница является продолжением страницы:
http://www.natalimak1.narod.ru/sqmin1.htm
В предыдущей части статьи я представила наименьшие магические квадраты из простых чисел в классическом определении (без использования числа 1) до порядка 10 включительно. Теперь покажу подобные квадраты следующих порядков. Мне удалось построить такие квадраты до порядка 15 включительно. Я продолжаю пользоваться тем же самым алгоритмом. Буду показывать наборы из n строк, из которых построены магические квадраты. А также буду представлять массивы простых чисел, из которых составляются квадраты.
n = 11
Массив простых чисел: 3, 5, … 661, 673, но заменить число 673 на 701. Магическая константа квадрата равна 3417.
Это сгенерированный программой набор из 11 строк, сумма чисел в каждой строке равна магической константе квадрата.
3 73 113 151 173 223 359 389 631 643 659
277 271 421 331 439 181 509 79 11 617 281
229 571 191 521 241 307 7 19 499 593 239
653 157 349 433 293 503 67 41 647 5 269
71 179 461 109 23 607 661 311 353 101 541
383 127 47 419 557 347 227 139 547 257 367
29 701 83 379 313 211 599 401 89 43 569
31 397 17 577 463 373 193 587 37 491 251
103 613 61 487 59 457 431 619 131 443 13
197 409 449 337 167 479 97 563 53 199 467
107 137 149 163 233 263 283 317 523 601 641
Из этого набора получился такой магический квадрат (рис. 1):
3 |
73 |
113 |
151 |
173 |
223 |
359 |
389 |
631 |
643 |
659 |
613 |
431 |
457 |
487 |
59 |
61 |
619 |
443 |
131 |
13 |
103 |
277 |
271 |
421 |
331 |
439 |
181 |
509 |
79 |
11 |
617 |
281 |
179 |
461 |
607 |
71 |
109 |
661 |
23 |
541 |
311 |
353 |
101 |
379 |
313 |
599 |
211 |
401 |
89 |
569 |
43 |
701 |
83 |
29 |
383 |
127 |
47 |
419 |
557 |
347 |
227 |
547 |
257 |
139 |
367 |
229 |
571 |
191 |
521 |
241 |
307 |
7 |
19 |
499 |
239 |
593 |
653 |
157 |
349 |
433 |
293 |
503 |
67 |
647 |
5 |
41 |
269 |
31 |
397 |
17 |
577 |
463 |
373 |
587 |
193 |
251 |
491 |
37 |
563 |
479 |
467 |
53 |
449 |
409 |
167 |
199 |
97 |
197 |
337 |
107 |
137 |
149 |
163 |
233 |
263 |
283 |
317 |
523 |
601 |
641 |
Рис. 1
n = 12
Массив простых чисел: 3, 5, … 827, 829, но заменить число 827 на 839. Магическая константа квадрата равна 4584.
Это сгенерированный программой набор из 12 строк:
3 13 59 89 197 269 503 523 617 727 761 823
487 281 541 379 601 659 293 521 353 181 257 31
103 227 17 677 233 7 563 787 809 499 421 241
709 491 311 131 43 631 733 239 173 19 757 347
461 11 41 439 113 5 643 811 773 479 167 641
67 683 509 163 839 83 571 271 607 47 467 277
127 211 401 367 647 97 739 409 397 691 139 359
101 613 389 107 79 337 577 653 587 457 547 137
769 199 383 349 193 73 701 599 23 443 433 419
719 373 283 191 179 463 307 661 151 743 251 263
331 557 313 149 829 797 61 431 821 157 109 29
37 53 71 223 229 317 449 569 593 619 673 751
На рис. 2 вы видите магический квадрат, построенный из данного набора строк.
3 |
13 |
59 |
89 |
197 |
269 |
503 |
523 |
617 |
727 |
761 |
823 |
487 |
281 |
541 |
379 |
601 |
659 |
293 |
521 |
353 |
181 |
257 |
31 |
263 |
307 |
743 |
251 |
661 |
373 |
179 |
151 |
191 |
719 |
283 |
463 |
461 |
11 |
41 |
439 |
113 |
5 |
643 |
811 |
773 |
479 |
167 |
641 |
127 |
211 |
401 |
647 |
367 |
739 |
97 |
139 |
409 |
359 |
397 |
691 |
67 |
683 |
277 |
509 |
839 |
571 |
163 |
47 |
607 |
467 |
83 |
271 |
769 |
199 |
383 |
349 |
193 |
73 |
701 |
599 |
23 |
443 |
419 |
433 |
709 |
491 |
311 |
131 |
43 |
631 |
733 |
239 |
173 |
19 |
757 |
347 |
101 |
613 |
389 |
107 |
337 |
577 |
79 |
587 |
547 |
137 |
653 |
457 |
103 |
227 |
17 |
677 |
233 |
7 |
563 |
787 |
809 |
499 |
421 |
241 |
821 |
797 |
829 |
557 |
431 |
61 |
313 |
109 |
29 |
331 |
157 |
149 |
673 |
751 |
593 |
449 |
569 |
619 |
317 |
71 |
53 |
223 |
229 |
37 |
Рис. 2
n = 13
Массив простых чисел: 3, 5, … 1009, 1013; здесь есть два варианта замены чисел, 1) заменить число 1009 на 1031; 2) заменить число 997 на 1019. Магическая константа квадрата в обоих случаях равна 6013.
Это сгенерированный программой набор из 13 строк для первого варианта массива:
3 7 101 251 389 433 467 499 503 821 823 839 877
911 61 431 167 227 359 461 337 131 727 613 761 827
409 331 439 463 509 421 263 953 739 643 541 163 139
349 719 83 653 23 229 313 571 521 97 883 691 881
809 397 1031 5 733 37 631 197 89 587 647 53 797
641 457 73 887 149 71 13 491 547 659 449 563 1013
199 607 113 47 347 683 151 673 811 257 769 937 419
269 181 523 773 557 211 743 577 19 17 859 307 977
617 599 239 751 241 929 223 619 487 41 271 967 29
137 857 919 283 853 157 983 109 829 383 353 43 107
191 173 127 991 443 701 281 233 941 311 997 31 593
59 11 277 293 601 907 947 479 103 179 661 787 709
67 79 193 317 367 373 379 401 569 677 757 863 971
Из этого набора строк получился такой магический квадрат (рис. 3):
Квадрат № 1
3 |
7 |
101 |
251 |
389 |
433 |
467 |
499 |
503 |
821 |
823 |
839 |
877 |
911 |
61 |
431 |
167 |
227 |
359 |
461 |
337 |
131 |
727 |
613 |
761 |
827 |
199 |
607 |
113 |
47 |
347 |
683 |
151 |
673 |
811 |
769 |
257 |
937 |
419 |
641 |
457 |
73 |
887 |
149 |
71 |
13 |
491 |
547 |
659 |
449 |
1013 |
563 |
809 |
397 |
1031 |
5 |
733 |
37 |
631 |
197 |
89 |
587 |
647 |
53 |
797 |
617 |
599 |
239 |
751 |
929 |
619 |
487 |
241 |
967 |
271 |
29 |
41 |
223 |
137 |
857 |
829 |
919 |
283 |
853 |
383 |
983 |
157 |
107 |
353 |
43 |
109 |
269 |
181 |
523 |
773 |
557 |
211 |
743 |
577 |
19 |
17 |
859 |
307 |
977 |
349 |
719 |
83 |
653 |
23 |
229 |
313 |
571 |
883 |
521 |
97 |
691 |
881 |
409 |
331 |
439 |
463 |
509 |
421 |
263 |
953 |
739 |
643 |
541 |
163 |
139 |
991 |
173 |
701 |
281 |
593 |
941 |
997 |
233 |
127 |
311 |
443 |
191 |
31 |
277 |
947 |
479 |
59 |
907 |
293 |
787 |
179 |
661 |
11 |
709 |
601 |
103 |
401 |
677 |
971 |
757 |
367 |
863 |
317 |
79 |
379 |
569 |
193 |
373 |
67 |
Рис. 3
Набор из 13 строк для второго варианта массива:
3 83 103 109 199 359 433 457 751 769 859 941 947
701 79 563 397 367 587 599 911 569 607 47 269 317
193 467 389 877 617 5 67 829 181 421 797 263 907
919 547 691 853 41 677 311 229 197 31 523 173 821
89 631 929 13 443 541 349 761 887 577 127 283 383
239 307 431 347 881 379 983 977 743 113 167 409 37
23 401 937 827 857 137 337 521 277 107 653 643 293
7 271 883 571 661 449 787 727 241 673 131 593 19
227 773 503 53 373 331 499 491 557 281 619 953 353
479 11 757 1009 487 811 251 163 641 211 439 71 683
809 463 647 233 149 659 863 179 419 313 991 191 97
101 1019 739 59 139 157 733 1013 73 967 509 461 43
17 29 61 151 223 257 601 613 709 719 823 839 971
На рис. 4 представлен магический квадрат, полученный из данного набора строк. Понятно, что из двух различных массивов получаются оригинальные магические квадраты.
Квадрат № 2
3 |
83 |
103 |
109 |
199 |
359 |
433 |
457 |
751 |
769 |
859 |
941 |
947 |
701 |
79 |
563 |
397 |
367 |
587 |
599 |
911 |
569 |
607 |
47 |
269 |
317 |
227 |
773 |
503 |
53 |
373 |
331 |
499 |
491 |
557 |
281 |
619 |
353 |
953 |
7 |
271 |
883 |
571 |
661 |
449 |
787 |
241 |
673 |
131 |
19 |
593 |
727 |
811 |
479 |
163 |
11 |
1009 |
757 |
641 |
211 |
683 |
251 |
487 |
71 |
439 |
23 |
401 |
937 |
827 |
857 |
137 |
337 |
521 |
277 |
107 |
653 |
293 |
643 |
239 |
307 |
431 |
347 |
881 |
379 |
983 |
977 |
743 |
409 |
113 |
167 |
37 |
193 |
467 |
389 |
877 |
617 |
5 |
67 |
829 |
181 |
421 |
797 |
263 |
907 |
919 |
547 |
691 |
853 |
41 |
677 |
311 |
229 |
197 |
31 |
523 |
821 |
173 |
89 |
631 |
929 |
13 |
443 |
541 |
349 |
761 |
887 |
577 |
127 |
283 |
383 |
863 |
419 |
97 |
233 |
463 |
991 |
149 |
191 |
179 |
809 |
647 |
659 |
313 |
967 |
733 |
101 |
1013 |
73 |
739 |
139 |
43 |
59 |
1019 |
509 |
461 |
157 |
971 |
823 |
223 |
709 |
29 |
61 |
719 |
151 |
257 |
601 |
613 |
839 |
17 |
Рис. 4
n = 14
Массив простых чисел: 3, 5, … 1193, 1201, но заменить число 1181 на 1217. Магическая константа квадрата равна 7712.
Это сгенерированный программой набор из 14 строк:
3 43 59 131 181 271 383 599 797 919 971 1039 1123 1193
1151 433 967 211 337 491 397 691 83 523 593 773 613 449
1163 827 607 1171 443 653 463 5 457 577 31 293 601 421
509 1097 313 757 167 709 761 347 137 857 619 233 1117 89
173 647 1069 389 1049 19 311 223 317 1103 283 683 947 499
163 881 673 107 431 487 991 631 829 109 349 367 811 883
547 13 1061 353 229 853 677 751 571 983 251 1201 193 29
643 269 887 733 23 409 1129 191 769 401 47 1109 149 953
503 439 809 1051 1091 659 157 1031 71 139 379 179 743 461
263 373 1063 101 877 617 419 911 787 331 241 151 839 739
1019 1093 521 7 61 1033 941 73 701 1009 127 11 257 859
53 937 307 97 113 281 977 821 569 557 1021 1153 467 359
227 907 823 17 67 587 641 929 661 719 79 479 1013 563
37 41 103 197 199 239 277 541 727 863 997 1087 1187 1217
Квадрат построился такой (рис. 5):
3 |
43 |
59 |
131 |
181 |
271 |
383 |
599 |
797 |
919 |
971 |
1039 |
1123 |
1193 |
1151 |
433 |
967 |
211 |
337 |
491 |
397 |
691 |
83 |
523 |
593 |
773 |
449 |
613 |
263 |
373 |
101 |
1063 |
877 |
617 |
419 |
911 |
787 |
241 |
151 |
839 |
739 |
331 |
503 |
439 |
809 |
1051 |
1091 |
659 |
157 |
1031 |
71 |
139 |
379 |
179 |
743 |
461 |
173 |
647 |
1069 |
389 |
1049 |
19 |
311 |
223 |
317 |
1103 |
283 |
947 |
499 |
683 |
547 |
13 |
1061 |
353 |
229 |
853 |
677 |
751 |
571 |
983 |
1201 |
29 |
193 |
251 |
643 |
269 |
887 |
733 |
23 |
409 |
1129 |
191 |
769 |
401 |
47 |
1109 |
149 |
953 |
163 |
881 |
673 |
107 |
431 |
487 |
991 |
631 |
829 |
109 |
349 |
367 |
811 |
883 |
1163 |
827 |
607 |
1171 |
443 |
653 |
463 |
5 |
457 |
577 |
31 |
293 |
601 |
421 |
509 |
1097 |
313 |
757 |
167 |
709 |
761 |
347 |
857 |
137 |
619 |
233 |
89 |
1117 |
1093 |
1019 |
7 |
521 |
1033 |
61 |
73 |
941 |
1009 |
859 |
701 |
11 |
127 |
257 |
53 |
467 |
97 |
307 |
1153 |
557 |
1021 |
569 |
359 |
937 |
821 |
113 |
977 |
281 |
907 |
17 |
823 |
641 |
661 |
929 |
67 |
719 |
79 |
587 |
479 |
563 |
1013 |
227 |
541 |
1187 |
239 |
277 |
37 |
997 |
863 |
103 |
727 |
197 |
1087 |
1217 |
199 |
41 |
Рис. 5
Этот квадрат был последним, который отправлен в Энциклопедию последовательностей (OEIS). На сегодня последовательность магических констант наименьших магических квадратов из простых чисел в классическом определении (без использования числа 1) имеет следующий вид:
177, 120, 233, 432, 733, 1154, 1731, 2470, 3417, 4584, 6013, 7712
Напомню ссылку на эту последовательность:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A164843
Мне удалось построить ещё квадрат 15-го порядка.
n = 15
Массив простых чисел: 3, 5, … 1427, 1429, но заменить число 1427 на 1439. Магическая константа квадрата равна 9731.
Это сгенерированный программой набор из 15 строк:
5 17 193 211 263 307 617 677 701 811 839 1193 1223 1307 1367
1291 727 223 1061 1423 293 887 1231 421 379 311 23 419 389 653
823 863 43 757 283 107 1213 1153 853 911 233 383 709 103 1297
401 1051 349 1277 613 1039 443 173 947 1049 241 1129 359 509 151
809 599 313 1229 577 257 19 557 353 367 937 1021 859 881 953
59 641 491 1279 1109 1163 593 773 563 457 73 883 277 601 769
337 127 1429 643 977 941 101 1327 1409 131 631 109 683 167 719
503 827 787 29 269 739 1399 1087 149 281 691 541 1097 761 571
1319 751 467 37 199 1301 41 587 317 1381 1201 433 797 79 821
1063 1013 673 11 139 1009 1303 907 373 967 569 227 1093 331 53
1361 67 1289 3 829 439 857 1103 13 607 733 163 1171 983 113
1117 1321 97 431 1259 997 479 347 397 929 271 71 523 971 521
647 743 31 1283 1123 239 1033 1249 1217 191 463 1237 7 179 89
181 659 487 1439 1373 1181 1091 197 251 61 1151 83 991 137 449
229 1187 499 1019 661 461 1069 409 547 1031 47 619 919 157 877
На рис. 6 вы видите магический квадрат, построенный из данного набора строк.
5 |
17 |
193 |
211 |
263 |
307 |
617 |
677 |
701 |
811 |
839 |
1193 |
1223 |
1307 |
1367 |
1291 |
727 |
223 |
1061 |
1423 |
293 |
887 |
1231 |
421 |
379 |
311 |
23 |
419 |
389 |
653 |
1063 |
1013 |
673 |
11 |
139 |
1009 |
1303 |
907 |
373 |
967 |
569 |
1093 |
331 |
53 |
227 |
1319 |
751 |
467 |
37 |
199 |
1301 |
41 |
587 |
317 |
1381 |
1201 |
433 |
797 |
821 |
79 |
401 |
1051 |
349 |
1277 |
613 |
1039 |
443 |
173 |
947 |
1049 |
241 |
1129 |
359 |
509 |
151 |
503 |
827 |
787 |
29 |
269 |
739 |
1399 |
1087 |
149 |
281 |
691 |
541 |
1097 |
761 |
571 |
337 |
127 |
1429 |
643 |
977 |
941 |
101 |
1327 |
1409 |
131 |
631 |
109 |
167 |
719 |
683 |
59 |
641 |
491 |
1279 |
1109 |
1163 |
593 |
773 |
563 |
457 |
73 |
883 |
277 |
601 |
769 |
823 |
863 |
43 |
757 |
283 |
107 |
1213 |
1153 |
853 |
911 |
233 |
383 |
709 |
103 |
1297 |
809 |
599 |
313 |
1229 |
577 |
257 |
19 |
557 |
353 |
367 |
937 |
1021 |
859 |
881 |
953 |
1361 |
67 |
1289 |
3 |
829 |
439 |
857 |
607 |
1103 |
13 |
1171 |
733 |
163 |
983 |
113 |
1117 |
1321 |
97 |
431 |
1259 |
479 |
997 |
71 |
521 |
397 |
523 |
347 |
929 |
971 |
271 |
7 |
647 |
1217 |
1283 |
179 |
1123 |
463 |
89 |
743 |
1249 |
1237 |
191 |
1033 |
31 |
239 |
137 |
61 |
1091 |
449 |
1151 |
487 |
251 |
83 |
659 |
1181 |
197 |
991 |
181 |
1373 |
1439 |
499 |
1019 |
1069 |
1031 |
461 |
47 |
547 |
409 |
619 |
157 |
877 |
661 |
1187 |
229 |
919 |
Рис. 6
Этот магический квадрат выложен на форуме в следующем сообщении:
http://dxdy.ru/post247147.html#p247147
Далее я посчитала минимально возможную магическую константу и сформировала массивы простых чисел для квадратов порядков 16 – 20. Но построить эти магические квадраты мне пока не удалось. Приведу подготовленные данные:
n = 16 Массив чисел: 3, …, 1621, но заменить число 1609 на число 1637 и число 1621 на число 1627.
Магическая константа 12088.
n = 17 Массив чисел: 3, …, 1889, но заменить число 1873 на число 1913 и число 1889 на число 1933.
Магическая константа 14807.
n = 18 Массив чисел: 3, …, 2153, но заменить число 2143 на 2207.
Магическая константа 17940.
n = 19 Массив чисел: 3, …, 2441, но заменить число 2441 на 2473.
Магическая константа 21501.
n = 20 Массив чисел: 3, …, 2749, но заменить число 2749 на 2777.
Магическая константа 25530.
Предлагаю читателям построить магические квадраты с использованием этих данных. Однако нельзя сказать с уверенностью, что такие магические квадраты существуют.
ДОБАВЛЕНИЕ (10 октября 2009 г.)
Недавно Stefano Tognon выложил на форуме dxdy.ru программы для построения нетрадиционных магических квадратов, написанные на языке С++. По этим программам я легко построила магические квадраты порядков 16 – 20 по приведённым выше данным. Показываю построенные квадраты. Квадраты строятся по программам Стефана в долю секунды. Можно построить сколько угодно таких квадратов, сразу задав в командной строке нужное количество квадратов.
Наименьший магический квадрат 16-го порядка из простых чисел
1597 317
1217 467 1459 157 1031 1543 1069 229 173 67
509 283 1297 673
73 367 199 1399 1471 1493 347 197 1453
787 853 1229 271 1181 617 151
859 307 1483 1427 619 277 577 997 241
1567 71 131 1237 227 1049 1019
23 1429 59 1319 967 443 337 191
1277 827 1601 193 677 1511 257 977
107 1039 1033 487 47 1193 1327 631 179 1301
701 127 683 1153 797 1283
823 1151 1583 653 439 947 499 37
311 1279 691 929 547 1231 571 397
353 1373 1367 457 881 647 1321 599 829
109 79 1607 733 809 911 13
887 1021 463 593 1579 587 97 1489 557
1097 523 149 811 773 239 1223
521 569 719 17 7 941 563
1447 541 1117 1129 1091 293 1549 491 1093
1303 1481 661 29 449 379 1451 251 139
479 1307 983 137 53 1553 1433
839 757 641 1423 359 1487 1061 113 349
461 103 223 937 1439 607 1289
1187 401 281 1009 883 863 1523 3 1559
163 1259 1409 1013 211 263 61
1627 503 11 821 419 1637 89 953
643 727 1063 709 409 373 743 1361
167 613 1249 331 877 421 269 1051 1571 1123
31 1163 1381 181 1619 41
751 101 19 1613 1201 233 857 1499 769
433 1213 1171 919 5 313 991
971 659 1103 43 431 383 739 1087
601 389 1291 907 1531 1109 761 83
Примечание: квадрат выложен на форуме: это копия с форума.
Наименьший магический квадрат 17-го порядка из простых чисел
ORDER=17 MAGIC=14807
1601 1297 641 1663 919 839 751 127 479 1291 83 263 1471 283 1399 463 1237
1489 101 1093 1621 643 571 139 1867 389 773 1567 1069 1033 857 503 709 383
1229 997 727 541 397 223 1747 431 1723 1733 521 601 331 491 971 211 1933
1831 257 1571 1721 1277 499 1861 43 587 337 1381 11 373 617 599 1103 739
277 163 701 107 1447 1429 433 1823 109 1117 1759 509 823 677 1487 1039 907
179 619 593 23 659 991 193 1613 1607 653 859 5 1289 1493 1913 1801 317
1439 547 313 787 683 887 1319 1019 167 1847 953 743 1301 967 1583 103 149
233 673 1367 1783 1361 1109 353 13 113 827 47 1657 1483 191 1283 1091 1223
1609 1451 761 1217 449 1181 89 421 1741 439 379 271 1171 173 569 1453 1433
1151 1051 157 137 401 1427 1327 227 1061 251 1021 1549 937 1777 97 1877 359
1523 1499 881 797 1303 1087 1627 131 821 229 1097 1667 877 241 523 197 307
349 1423 1481 853 1559 1187 311 1213 281 443 563 863 457 1123 829 613 1259
461 1619 151 1699 53 1531 181 977 1697 199 347 1871 1031 929 769 1231 61
983 73 79 1193 1787 419 647 809 1693 1307 293 883 1511 1049 1009 59 1013
409 557 1321 29 467 733 1709 1153 19 661 1753 1579 71 1459 67 1879 941
7 1279 1597 269 239 3 1543 1129 911 1637 1553 1249 41 811 719 31 1789
37 1201 1373 367 1163 691 577 1811 1409 1063 631 17 607 1669 487 947 757
Наименьший магический квадрат 18-го порядка из простых чисел
ORDER=18 MAGIC=17940
1433 839 181 1429 811 41 541 569 1877 1373 1249 709 1987 29 439 613 1709 2111
701 257 733 1721 617 1399 751 1031 1567 383 1973 2129 1489 1621 139 31 197 1201
11 509 743 353 1951 1381 2153 823 1151 271 1283 887 599 2141 5 1103 547 2029
1303 659 127 167 1637 373 2081 61 953 1979 1901 269 883 1777 991 2137 293 349
1297 179 431 461 647 1423 773 1871 113 1447 233 1759 389 1499 1823 1181 2083 331
1487 1879 173 1229 103 1327 2069 409 211 443 1009 1049 503 1109 2207 79 643 2011
1997 1741 1319 401 719 1039 1801 1367 239 251 317 1459 241 641 1013 2099 419 877
47 1237 1231 83 1093 563 757 491 137 1723 1753 229 1553 593 1907 1223 1663 1657
821 827 1361 1847 1259 43 1669 1787 653 1579 1861 1693 467 277 919 673 97 107
1069 577 691 223 1291 1933 17 1627 1171 1531 131 397 1831 2063 59 479 1789 1061
1811 307 1217 859 571 1523 1667 521 601 67 37 677 1277 2027 1697 661 1999 421
2131 1471 457 971 1609 487 313 2089 947 1559 1289 1583 1021 727 683 73 163 367
337 769 1511 1091 809 1193 433 1607 2003 7 3 619 1549 13 1613 1307 1187 1889
829 1571 1427 2039 557 157 1453 1117 1873 191 863 1931 71 739 149 311 1733 929
151 1949 2017 263 1619 193 53 463 1493 1747 911 499 983 631 1123 1483 1481 881
937 199 1301 2053 787 1913 109 853 1097 23 1033 941 1699 1163 1601 1451 761 19
1129 977 2113 1783 797 1409 281 101 997 2087 227 587 1051 283 1213 1439 1087 379
449 1993 907 967 1063 1543 1019 1153 857 1279 1867 523 347 607 359 1597 89 1321
Наименьший магический квадрат 19-го порядка из простых чисел
ORDER=19 MAGIC=21501
1381 397 241 2273 113 1223 17 1601 1237 2347 1543 751 211 1801 479 2377 937 1091 1481
1999 1193 1907 557 907 2161 1249 499 631 163 151 2111 1229 103 1483 409 1013 1949 1787
719 11 571 3 2333 19 599 2153 1487 1669 1187 653 1039 1459 1871 769 2011 727 2221
1319 331 1063 829 1873 1409 251 1367 173 787 2081 2281 233 2069 647 2029 349 2243 167
1153 863 1163 683 2053 709 281 2411 1289 733 601 2269 1427 739 811 229 109 1889 2089
101 1061 853 1553 283 1879 2351 1583 2293 2437 1429 1693 941 313 1213 59 1279 23 157
433 1973 859 317 773 401 1783 971 1327 1699 137 1741 1297 509 2393 2099 373 569 1847
347 1993 1987 179 1399 911 1181 643 1423 239 1613 1129 797 1951 1123 71 1307 1697 1511
353 1303 607 743 659 953 641 2113 1571 439 419 487 877 2389 1637 1901 1051 2309 1049
1493 1609 389 1597 181 227 2213 139 1231 1559 2341 131 2383 359 7 1277 1627 1117 1621
1607 2207 1663 1031 2003 1453 1979 661 293 983 691 1291 521 1499 1747 43 337 1451 41
1667 1867 2423 223 1579 2063 307 563 593 191 1151 757 1723 1997 1069 1087 1097 881 263
1877 1201 431 1811 2017 491 2357 619 613 1373 883 443 2311 821 503 2251 929 463 107
269 1831 89 1217 617 53 2039 1301 2131 887 1447 947 311 199 2371 823 1721 1009 2239
449 149 457 1913 421 1567 1549 2087 541 367 47 379 1283 2399 857 2237 1109 1759 1931
1753 2203 2141 1733 577 257 839 467 991 977 2381 2027 1789 827 1093 677 461 271 37
1019 79 1523 2179 1823 1709 83 193 2417 97 1439 761 67 523 1033 2339 2473 383 1361
2129 127 997 1489 1861 2083 1777 1321 673 2287 701 31 2143 73 967 277 1021 13 1531
1433 1103 2137 1171 29 1933 5 809 587 2267 1259 1619 919 1471 197 547 2297 1657 61
Наименьший магический квадрат 20-го порядка из простых чисел
ORDER=20 MAGIC=25530
883 2087 2351 367 1873 811 151 1489 1223 1039 761 673 1049 1787 1319 2503 2081 809 2221 53
1129 599 2089 17 1483 1021 2131 521 1783 839 2377 2069 1433 463 1499 571 499 2273 71 2663
907 317 1621 61 2593 2371 239 2683 1723 701 719 2677 271 2111 223 2341 653 211 1831 1277
461 431 41 2357 2129 1487 2099 1123 479 397 1229 997 1151 983 1867 2477 1091 2521 661 1549
2693 1613 491 467 131 31 769 103 563 29 2551 2731 2203 2281 2621 787 2293 1667 1019 487
2579 1907 353 2689 2609 1949 1597 1303 593 2671 13 383 191 47 59 1657 727 2339 263 1601
347 1747 2243 1543 3 1321 379 829 7 2447 647 1847 2777 587 2309 911 2441 2143 643 359
73 557 2029 1531 821 2347 1697 2459 1153 443 1721 2063 97 1699 101 1429 127 1451 2539 1193
1619 2311 2633 2617 613 2267 509 1297 853 229 1453 421 523 2393 577 241 1171 503 601 2699
2269 113 1163 1637 1567 683 199 1033 1987 2137 1013 1217 331 607 1061 457 2011 1361 2543 2141
2113 2287 1327 11 977 2333 947 863 167 2531 1181 2027 2423 1871 1951 37 1087 541 659 197
19 349 757 1523 1789 1481 1709 2549 2237 1423 941 109 2297 2083 1759 857 139 691 401 2417
2003 1693 163 631 283 677 2017 1283 1103 67 1979 1289 1093 1373 2473 2719 971 1607 373 1733
1811 1997 1381 1117 173 79 1993 2741 2647 1823 157 2389 641 1511 1367 251 1913 569 89 881
1627 389 617 313 5 2213 2039 1973 1409 1291 2381 743 1109 877 823 1301 1933 23 2711 1753
449 919 337 1861 2207 859 419 967 1889 293 1237 1069 1009 937 1801 2179 1579 1931 2659 929
2153 2591 1231 2467 1879 2713 1201 307 1447 1493 439 43 2557 193 1609 179 107 1901 709 311
433 797 2657 733 1571 257 1439 953 1213 1669 751 1459 1399 2399 1259 2383 991 1031 1249 887
409 1999 739 2161 2687 83 2437 281 1583 1279 2239 1097 2707 277 619 1063 1663 181 1877 149
1553 827 1307 1427 137 547 1559 773 1471 2729 1741 227 269 1051 233 1187 2053 1777 2411 2251
Таким образом, последовательность А164843, состоящая из магических констант наименьших магических квадратов из простых чисел в классическом определении (без использования числа 1) на сегодня имеет вид:
177, 120, 233, 432, 733, 1154, 1731, 2470, 3417, 4584, 6013, 7712, 9731, 12088, 14807, 17940, 21501, 25530.
При этом члены последовательности, выделенные красным цветом, пока не внесены в Энциклопедию.
Для квадратов следующих порядков я пока не подготовила данные. Программы Стефана позволят построить квадраты до порядка 31 включительно. Позже, возможно, я продолжу построение магических квадратов данной серии. А читатели могут сделать это прямо сейчас.
ДОБАВЛЕНИЕ (11 октября 2009 г.)
Продолжаю построение магических квадратов данной серии по программам Stefano Tognon. Напомню, Стефано выложил свои программы на форуме dxdy.ru. Посетите тему «Магические квадраты» на указанном форуме, это очень интересная тема! Вот ссылка:
http://dxdy.ru/topic12959.html
Итак, я продолжаю.
n = 21 Массив чисел: 3, …, 3089, но заменить число 3061 на число 3121.
Магическая константа 30021.
Наименьший магический квадрат 21-го порядка из простых чисел
ORDER=21 MAGIC=30021
1493 1123 397 911 197 1231 53 1259 1553 2699 3001 1753 1069 2141 2687 1151 571 2393 2423 3 1913
1013 1861 419 827 359 1997 1637 1511 1033 1801 2549 1097 881 17 2179 2971 1867 19 1201 2111 2671
311 1847 331 577 2333 31 1699 1481 239 2237 1871 2357 2087 727 2713 37 3083 401 1933 883 2843
2797 643 1117 1549 1973 1621 2801 47 2207 769 191 389 1777 2557 1559 2689 1217 1021 503 1783 811
2957 773 157 241 809 743 2251 353 2693 677 2351 2927 2741 1297 293 2609 647 2731 2063 89 619
523 2371 1979 2753 1579 1187 569 487 2777 349 433 233 1747 151 971 2411 3019 1039 1597 1499 2347
761 2309 2069 1877 2027 3041 131 1459 1999 563 1009 2719 1229 1249 43 199 1489 2963 839 1607 439
67 3037 2647 601 2267 1367 709 3067 2017 1291 139 2473 83 2417 61 1543 113 1103 1093 2137 1789
1667 1601 1619 3049 2677 137 1709 2441 1109 937 271 163 541 1307 2389 1223 701 2591 97 2621 1171
1447 5 1987 1487 733 2003 1663 173 431 787 277 2543 2707 2293 2749 521 2081 1373 2213 1571 977
3079 1823 1627 1277 479 887 269 1741 1523 499 2203 877 2897 11 751 2617 127 821 2969 1811 1733
1567 1723 313 59 2083 2311 457 211 1583 859 2099 1091 907 1061 2579 2339 2521 1063 1471 2861 863
2383 617 2833 1051 383 2341 463 2053 641 2939 2633 23 1087 2221 1951 587 307 2273 193 2819 223
2011 179 509 557 1193 547 2711 2161 2903 2467 449 2803 2089 2887 1163 181 317 1153 2029 1303 409
107 1451 1693 1531 2281 2789 2477 1031 2039 1019 2953 167 2129 719 347 1613 2381 263 1279 823 929
953 1181 1657 2999 1609 283 829 1879 941 3121 2153 227 467 2551 103 2131 3023 1873 443 967 631
7 991 2297 2837 2239 683 29 1289 281 1993 1949 2113 1129 101 2531 1361 739 1889 2917 1327 1319
3011 1453 673 797 1669 2593 2659 2791 373 613 41 491 757 2143 379 1483 2729 1901 661 367 2437
2663 251 593 1787 659 1381 2539 1399 2909 919 2243 1721 2503 3089 1429 71 149 109 1237 1049 1321
947 1931 2657 1831 2399 1439 1907 2767 691 1213 607 997 337 229 461 983 653 1283 1433 2377 2879
257 2851 2447 1423 73 1409 2459 421 79 2269 599 2857 857 853 2683 1301 2287 1759 1427 13 1697
n = 22 Массив чисел: 3, …, 3463, но заменить число 3433 на число 3491.
Магическая константа 35086.
Наименьший магический квадрат 22-го порядка из простых чисел
ORDER=22 MAGIC=35086
2029 1091 2297 3041 311 3389 1949 263 1777 827 41 3259 1753 197 2671 3163 59 1259 7 3299 1187 1217
2099 859 557 593 2281 797 2011 2539 2069 3461 1657 643 1277 151 3181 3463 811 31 3109 71 1399 2027
1889 2549 587 1181 293 1201 1901 971 373 2381 2837 3037 911 2153 1289 43 1597 2267 647 2129 2377 2473
2713 2063 1307 547 2767 1931 3449 2447 1913 2053 2953 739 167 2797 1481 353 2971 283 137 443 1153 419
461 3253 3371 3271 3413 37 269 227 887 449 937 1907 619 3137 19 2161 1321 2693 1637 1439 1291 2287
1789 2143 1087 3061 1223 409 1583 1621 1249 727 2857 509 2711 181 3167 223 3187 1723 2777 1109 53 1697
29 79 1693 2803 3 2293 2087 1933 2749 2399 2339 313 2741 89 3407 1297 2003 281 569 2903 149 2927
2081 229 1051 641 233 3257 23 3331 2393 2207 1069 1163 1213 599 2309 179 1129 3323 479 2239 2591 3347
631 487 701 1103 2441 3307 1039 2617 2237 1033 2341 2963 2141 109 1061 677 2551 1801 2969 307 1117 1453
2039 2729 2111 1579 823 503 719 1423 2437 439 2477 1361 163 1699 1009 2311 3191 433 3229 1499 919 1993
1543 349 1237 2657 2503 389 1741 1997 907 2357 2083 1877 2371 2531 1667 2753 157 113 769 397 3019 1669
2417 1951 2089 1567 761 2699 673 2221 1367 1097 3121 2659 463 983 653 3209 1433 431 2917 809 1549 17
1031 1811 1709 191 563 1019 3203 1063 1759 3329 1231 3313 2683 2677 139 1279 941 2687 331 101 2203 1823
1487 1381 733 127 1151 1721 73 661 2909 257 347 1553 2411 1663 3001 3089 2557 1783 2351 2897 601 2333
211 2269 1871 421 1303 1619 2887 103 1607 1733 977 1301 877 3457 757 2833 131 3343 2719 1601 2213 853
3491 1879 3361 2423 1531 1483 1609 3119 521 1021 97 683 3301 2707 11 523 2957 1489 1999 773 61 47
1511 2131 2179 2243 1867 1229 271 1613 1123 1987 929 967 2647 107 577 193 277 3079 3083 2543 1171 3359
1847 883 1373 2579 3067 1459 1283 173 1559 881 3011 2251 2383 1093 1973 67 1831 2521 1627 2861 359 5
1493 787 2879 607 3391 541 2467 3169 83 1979 947 953 383 2801 1409 1571 613 2789 743 2689 2593 199
2999 2663 1429 2939 691 617 2731 751 857 829 1471 1861 337 2621 1319 2633 1787 467 401 1747 2609 1327
839 709 1451 499 1447 2137 659 2273 3319 821 997 1523 317 491 2113 1049 1193 1427 2347 2851 3251 3373
457 2791 13 1013 3023 3049 2459 571 991 2819 367 251 3217 2843 1873 2017 2389 863 239 379 3221 241
n = 23 Массив чисел: 3, …, 3821, но заменить число 3803 на число 3823.
Магическая константа 40675.
Наименьший магический квадрат 23-го порядка из простых чисел
ORDER=23 MAGIC=40675
379 1069 863 1049 3793 3797 1871 5 3727 2833 1301 3539 2339 491 389 2297 1277 3191 2683 443 373 3 2963
3433 2203 1039 1753 2837 1327 433 1021 739 2377 1741 2503 359 1399 3389 101 3257 2281 2693 2131 1409 593 1657
2383 149 827 3659 2477 1777 1109 457 347 1607 271 2143 577 3821 2999 3469 3823 1033 2749 1249 103 1559 2087
1583 2707 3463 317 1123 1571 1367 2113 2269 1667 2909 2887 2069 1613 2687 613 1091 2011 733 2111 197 1973 1601
809 3617 263 3067 499 2213 773 1319 571 2711 1511 223 2857 691 2459 3607 71 1913 167 3631 2777 2267 2659
3413 2803 569 1733 1997 431 3613 1709 1103 1307 3209 127 3089 2801 1459 409 2029 787 1201 3253 587 3023 23
3083 479 2767 1811 557 157 3217 107 3511 3313 1013 1061 1231 2381 2647 2731 601 307 131 3371 2083 2677 1439
659 293 2273 2531 2341 2371 419 1163 163 3691 3163 19 547 3593 1759 3779 941 3221 2579 311 2027 2309 523
1627 2953 1663 2447 1187 823 2593 2161 3299 79 647 2389 1987 1297 401 2141 1451 1867 3167 971 3041 1723 761
353 769 1907 1823 1861 1031 1087 3119 3331 2179 2129 1429 997 2851 2099 1129 2053 977 653 3251 3323 1783 541
839 3529 2549 1151 3011 1489 73 2741 2221 241 3719 2719 2939 2393 2789 1171 1523 269 599 337 2333 37 2003
43 1693 421 3373 1879 2917 3079 2539 1303 1933 257 2243 937 2039 3739 463 1453 89 2633 859 1801 1423 3559
3049 251 1481 853 907 709 1621 3769 211 1019 1361 2423 173 3271 229 2903 3467 1699 3547 2729 757 1289 2957
2621 53 2467 3121 3319 967 947 3697 67 1873 1579 283 2411 2671 1531 383 751 2137 3449 397 1877 3457 617
953 139 3037 701 2543 3391 233 2713 3001 991 2089 1009 1979 97 227 641 3181 2017 3229 1153 1831 3733 1787
1543 1291 1433 1213 3301 3571 1487 2441 17 199 277 2473 2417 1097 821 1381 3761 239 3343 1999 281 3499 2591
919 3709 2293 1789 1493 3137 1697 3361 1931 1609 1229 137 3169 2609 619 2399 2969 2153 1597 29 461 1283 83
2557 2753 2699 719 31 3461 3187 13 1993 2797 1373 2927 2351 181 3019 2207 1567 3527 743 883 521 727 439
1669 7 1193 2791 983 487 2357 2861 2311 2819 3061 673 47 607 1181 3623 1721 2879 503 3673 1321 367 3541
3259 1747 3203 857 113 881 3637 59 3557 887 3701 1847 811 2551 1237 1951 661 1051 1949 1223 3347 509 1637
2617 2239 1889 1619 1447 2347 2657 191 683 1093 179 2063 2081 1259 3767 1117 563 151 467 2897 3583 3329 2437
2843 3533 877 2237 1427 349 3109 829 643 929 313 2251 1901 331 11 677 1553 3359 797 3581 2971 2663 3491
41 2689 1499 61 1549 1471 109 2287 3677 2521 3643 3307 3407 631 1217 1483 911 3517 1063 193 3671 449 1279
n = 24 Массив чисел: 3, …, 4217, но заменить число 4201 на число 4259.
Магическая константа 46840.
Наименьший магический квадрат 24-го порядка из простых чисел
ORDER=24 MAGIC=46840
3863 1483 2111 1409 2753 3463 3917 4013 3191 443 2803 601 3307 571 2239 149 2143 1879 2383 211 709 1753 1097 349
1021 3079 3067 251 271 2963 1187 691 1493 421 2017 2141 3187 4001 17 3461 2531 1283 2441 3391 3389 1627 2843 67
1667 1949 1789 1213 1861 197 1303 4079 1117 3637 727 2633 967 2113 3529 809 3779 1531 3491 1039 3271 59 151 3929
541 3631 1579 2473 1801 2927 41 1321 829 61 1759 1181 1051 929 3121 1697 83 4129 2917 3943 487 2731 3881 3727
3167 3 107 1471 2179 241 2011 409 71 2137 4057 3371 2207 1913 1087 1193 2777 863 3203 907 3571 4027 2647 3221
2833 2381 3319 2659 173 3413 257 331 683 607 2699 3229 4153 2687 379 2837 3499 4099 353 359 2309 911 337 2333
1559 3623 499 2393 239 643 2411 1823 823 1543 2087 1451 1453 1601 1459 2903 1481 1999 2971 2689 587 2693 3733 4177
4111 283 3449 983 2357 2243 401 79 1301 3613 2617 3347 3853 31 3217 2267 131 2341 367 2819 277 1279 3691 1783
479 3119 3539 2609 811 2131 1997 2797 3331 2683 1811 1613 1583 1201 2539 1171 3083 521 13 4073 1427 3373 317 619
3659 1327 719 2663 4007 4049 3541 2423 761 461 1399 4133 991 47 37 1223 4019 3361 2791 2503 563 229 103 1831
2297 2657 593 797 569 3767 953 2543 1721 937 1637 113 1009 2713 1901 1259 2549 1069 3947 3407 2857 3931 1063 2551
4157 2621 997 89 1163 1381 1979 1151 3889 4217 857 5 2969 2909 1657 1297 109 223 3253 1747 2593 1289 2029 4259
3517 2719 2417 577 3821 3313 389 1367 2707 859 839 1109 1153 3323 509 2237 3457 1361 233 457 2749 3907 1031 2789
2003 1663 631 1229 3299 1787 3919 2083 2591 3259 1433 1597 1019 773 2953 2221 3793 941 677 383 1907 757 3761 2161
137 3001 3137 4051 673 163 887 2897 2099 2729 2377 739 2861 1549 3181 3769 661 281 491 1447 1439 1103 3701 3467
11 647 2939 2347 4021 373 3643 2251 3359 733 653 787 167 1237 3011 3607 547 3877 617 2467 1847 3037 3343 1319
919 883 2293 397 2069 3329 1951 1567 3433 3923 1973 2399 1373 2767 1871 2339 2089 1523 1129 179 2459 3671 751 1553
1487 1699 2203 3061 3089 877 3557 1693 2311 1489 3677 659 1231 2281 2711 73 1123 181 4211 2741 2053 23 1609 2801
263 641 313 1423 2351 3851 311 3967 1249 2999 1291 3209 463 3511 3847 449 1013 4003 1511 3593 2129 2521 1741 191
827 1571 3547 2671 2389 101 431 1619 3301 1877 1217 2851 1867 3823 3719 2887 127 2879 1621 4091 1733 307 1091 293
2557 3709 193 4127 3109 1933 4139 43 1777 1429 701 2579 1277 2287 947 3019 3581 2437 1723 971 557 29 3697 19
1049 1607 4093 2371 3049 157 3559 769 53 503 4159 3257 2273 523 1499 419 3797 2153 3803 1307 1669 3911 7 853
2039 1931 1093 3583 347 2477 3023 3251 1709 3833 1987 97 2957 3169 977 2027 269 3163 1873 227 3989 139 599 2081
2677 613 2213 1993 439 1061 1033 3673 3041 2447 2063 3739 3469 881 433 3527 199 743 821 1889 2269 3533 3617 467
n = 25 Массив чисел: 3, …, 4639, но заменить число 4603 на число 4651.
Магическая константа 53631.
Наименьший магический квадрат 25-го порядка из простых чисел
ORDER=25 MAGIC=53631
61 1091 2731 3463 4013 2143 4271 1999 3617 823 4229 421 4003 911 1543 2333 3673 3 821 263 1279 4177 1283 3821 659
3271 4139 463 571 241 73 191 4597 1877 2713 1723 3413 3833 1423 4219 607 11 3631 743 2797 709 3499 3511 2699 2677
293 3301 2729 1301 2207 2467 4639 2129 1523 947 4079 4621 599 4373 3701 2341 1021 1193 461 929 1597 1307 3911 29 1933
163 2339 3797 971 439 569 1657 2237 2539 769 2221 1879 4523 2503 2711 3181 2251 4093 2789 3607 577 487 673 3889 2767
3623 2671 3823 3881 3019 4027 2473 1733 3739 1613 367 193 2683 4423 71 433 2069 2089 4651 631 1873 2423 107 859 157
419 1289 1033 1949 3691 2963 1327 1277 457 1637 4049 3023 397 3541 2311 1103 2971 2917 541 2141 677 3917 2521 4289 3191
503 4243 4127 641 3083 1801 2879 3169 907 787 1621 4441 941 827 1607 67 3037 3119 1049 4409 613 1553 3677 2833 1697
251 3547 1163 1601 1741 4129 3863 1181 3467 1171 1303 2657 2063 2351 1009 1151 1429 2693 113 1567 2903 1489 3847 3583 3359
1609 1427 31 3851 3517 131 2389 4483 313 1453 1319 2999 1201 4021 937 4217 1663 3539 4567 311 1129 1669 3697 97 3061
257 1693 853 2293 3989 271 1787 3299 1493 1847 3643 3637 3923 1831 1483 4363 1373 227 811 233 4153 3761 2011 2269 2131
4447 3769 1231 1447 1783 3803 2819 643 3011 4019 1187 1117 2377 1409 2399 1367 2843 1459 3373 2741 3329 1571 101 1039 347
3331 127 137 2027 1093 2687 2749 4549 2753 4481 3001 1153 563 1583 17 4111 1381 4457 661 1549 3533 1063 4261 617 1747
2707 1907 1291 997 4099 3121 1123 887 2357 4397 4463 359 47 1229 2579 1051 983 1861 4547 2441 4637 499 2609 3229 211
3613 2243 919 739 1439 2281 89 1249 1481 3187 3947 1361 2551 4421 3767 383 2447 809 3853 2591 839 2791 601 1789 4241
4349 3209 751 2837 223 2297 317 1031 4231 167 331 41 2663 1721 3319 4211 3137 2437 3407 2777 857 4157 883 4259 19
1259 197 3433 1499 2969 2393 53 1013 2851 4133 379 4493 4073 1471 173 4357 3659 863 523 4283 3307 449 1811 431 3559
991 1061 953 2273 2909 4451 1069 83 103 353 3571 1321 2857 1097 4519 2927 1213 3361 3389 3461 547 1019 3557 2039 4507
2153 2531 1901 467 37 1087 2593 2239 3709 1753 2477 3347 3877 181 1511 3259 3529 3727 1987 401 2309 647 4339 179 3391
829 2017 2161 3163 139 1913 3581 977 2267 3221 1487 2003 283 3343 2719 4007 1979 593 509 3253 3931 3527 269 2371 3089
2543 727 1823 2659 2803 4253 2621 1973 773 2887 151 389 23 79 3907 43 1217 479 3491 3719 1627 4583 4091 2179 4591
4201 1109 4391 2557 491 109 881 2647 3323 229 349 1931 3793 3313 3041 877 1579 587 3967 2617 2953 2801 2689 2957 239
4327 521 3593 2053 3671 277 2861 4337 4057 557 1297 691 1559 1993 3079 3217 1871 2287 2549 701 3929 5 199 3203 797
3371 149 2137 3449 1237 1709 3733 1759 2087 3779 2897 2459 733 3067 619 2347 1399 3257 1997 2099 2939 1531 2203 1223 1451
1951 4273 4159 4561 4517 757 1777 2029 13 3251 3167 3469 2633 653 2083 59 2383 3943 2113 1699 967 409 337 1667 761
3109 4051 4001 2381 281 3919 1889 2111 683 3457 373 2213 1433 1867 307 1619 4513 7 719 2411 2417 4297 443 2081 3049
n = 26 Массив чисел: 3, …, 5059, но …
Здесь есть два варианта массива: 1) заменить число 5039 на число 5081; 2) заменить число 5059 на число 5101.
Магическая константа 61092.
Наименьший магический квадрат 26-го порядка из простых чисел (первый вариант массива)
ORDER=26 MAGIC=61092
151 743 3823 2767 317 599 4457 2393 4567 3491 4787 577 3301 4241 2467 1901 43 1231 3167 2269 1741 3931 2719 569 47 4793
4969 1217 3271 2593 3499 2339 1013 3313 619 1193 383 3761 2423 2803 4637 4297 3671 1697 1091 181 2083 1721 4007 1021 1009 2281
4943 3217 2909 2207 4519 2801 3833 3067 1747 347 4801 2797 2861 3889 593 157 769 1439 313 3701 3463 1609 191 1181 821 2917
4703 853 523 683 3089 4967 3877 2851 307 29 1709 929 4603 4549 3547 2657 2251 491 2243 1871 5081 1613 3863 761 1619 1423
2063 727 4973 5021 2557 2437 131 2647 2837 3697 977 3989 149 4159 2383 2609 2999 607 3967 1303 269 1051 1451 3121 641 4327
2659 3203 5051 1483 877 2293 2351 4993 2963 4937 2213 109 4817 233 1487 4561 3581 3079 1201 571 2617 2341 389 107 2957 19
2017 4129 3539 4871 2411 3881 701 1291 4253 2179 1999 227 883 2377 2503 3343 3209 79 401 1471 1453 3001 3727 2221 4099 827
373 4889 4363 263 3461 887 2521 197 2731 2137 907 3371 1237 1979 2531 2833 3389 4273 367 4111 397 2693 1429 3109 4513 2131
617 2791 3733 653 229 3319 1033 4663 4483 1907 1663 503 1087 101 1787 991 1223 4013 2459 5011 2843 1061 4409 1847 3709 4957
3119 3643 587 1549 4493 2399 4789 2297 967 3457 4831 2621 4909 2539 1069 2683 1877 4219 2741 1093 419 5 1933 59 521 2273
2591 4261 2939 1459 2143 379 2549 3943 2267 3739 857 3049 1997 1447 2971 1117 4091 4903 3329 4211 439 499 1123 1531 1327 1931
1277 829 1693 2551 4751 2729 3307 863 103 3617 2677 1259 563 1667 2389 601 2081 1579 3083 2381 163 4517 4093 4057 4931 3331
11 2141 457 541 1723 937 1889 2713 461 1361 337 4861 631 953 2897 4999 3583 1489 4391 4201 2671 4339 1733 4423 2473 4877
2113 2069 3449 409 13 4049 1627 1543 971 2099 2879 4421 3767 3541 4723 331 2027 2689 4073 3181 757 1213 3323 251 4021 1553
5009 173 463 3169 3359 167 3037 1583 1987 3803 3259 3847 1103 3797 4591 349 271 31 4153 193 1481 4019 1097 2087 3373 4691
61 3257 2237 3221 487 1973 911 4987 3391 661 2203 997 3361 2153 1381 2129 3137 421 787 809 4259 839 3191 5003 4639 4597
3527 2707 3779 1571 2089 3347 2927 3719 1597 1321 4679 3947 1499 1319 3571 4231 1637 797 3659 881 2333 2633 647 1019 983 673
23 3 41 947 1699 7 2711 73 4447 37 3853 5023 1367 1409 4177 1879 2161 4951 4243 1861 4783 4799 1951 4657 3631 359
3673 4621 2447 3433 1171 1801 3929 2699 4463 1049 4271 659 1759 811 2887 4729 1399 53 2969 4373 1993 823 2953 1753 97 277
1621 1289 3677 479 3251 3557 353 4001 2579 1279 3023 4441 2477 4027 547 3299 5059 2029 1949 1669 4481 3187 1823 239 557 199
2011 2053 89 4547 613 257 3061 2663 3529 293 4051 733 3011 1777 691 1523 3607 4523 83 1811 4721 3041 4139 3533 2819 1913
2687 4397 2347 1301 3019 3253 3407 677 1153 4733 179 3851 773 3917 1831 1373 3559 241 739 4673 1657 4217 449 3593 709 2357
4157 433 281 2753 4933 4759 1129 17 2239 4643 1151 2441 4357 2311 1433 2003 2371 3907 1297 1229 859 4813 1039 2543 3923 71
1559 1249 2789 4289 3769 1567 1187 1867 3793 4283 467 1427 3517 113 127 719 211 4451 3613 3163 3511 283 4127 3691 2417 2903
509 2287 139 3413 1511 2039 3919 1601 1031 1163 1063 311 1783 4229 3229 2309 2749 3821 3467 4651 4507 67 4003 4583 919 1789
4649 3911 1493 4919 1109 4349 443 431 1607 3637 1873 941 2857 751 643 3469 137 4079 1307 223 2111 2777 1283 4133 4337 3623
Наименьший магический квадрат 26-го порядка из простых чисел (второй вариант массива)
ORDER=26 MAGIC=61092
691 2647 1753 4447 457 997 2141 857 4789 1093 3527 4297 1117 2339 971 1451 4241 1301 241 4861 3089 3109 4567 743 1009 4357
757 1231 3929 1601 1259 4483 307 2153 4703 2131 3833 1091 181 2539 2411 3271 3917 2953 3719 313 4327 359 1571 4093 3313 647
2609 3853 3331 1217 3347 4547 233 3673 5011 2579 1373 139 811 1409 1151 1583 223 829 787 4643 3863 4691 1061 547 3761 3821
4289 1013 1637 199 569 4057 3593 4003 4423 4349 2377 1777 1999 3061 2927 607 1549 3067 3793 1597 4999 2837 1163 227 643 337
1153 4813 2753 107 2311 2239 2281 4457 1543 1429 4889 4651 2351 3011 3671 2749 239 4723 5 1667 257 1327 2551 1823 3041 1051
3881 4799 761 2719 4463 509 1423 1063 277 3121 1459 1489 2087 4759 1783 73 2543 3413 3767 4831 2287 2063 977 3019 1049 2477
2467 2179 577 4943 23 3329 4787 5021 1487 1693 1201 3319 557 2039 3221 3511 1289 523 2677 443 2659 3877 4549 1699 2711 311
2693 727 2591 2027 2707 1831 2099 1433 4663 5023 463 1453 2273 4157 4079 4931 3581 2113 7 3217 1759 71 839 4517 97 1741
3557 2309 211 2879 3461 4637 2069 53 2939 4283 59 3911 4201 1187 1103 193 1499 1949 563 1523 4271 2887 3847 1321 3797 2383
4591 499 3469 3253 2393 47 2593 349 2207 3803 4523 41 797 2797 907 4639 4649 937 1993 4177 587 3137 887 947 4969 1901
3 1873 881 4513 2671 1427 4603 3631 1801 4733 4657 2777 2137 1579 4007 61 1867 2243 3701 739 2803 13 1669 281 3733 2689
2053 3191 191 719 5101 487 631 3049 1069 4021 3259 3571 1997 1567 2029 4451 1171 1889 3457 2083 3209 1847 1021 3083 1787 4159
2917 103 4441 79 269 4621 4817 3407 2621 1367 1553 809 4099 1987 877 1181 3361 229 2441 619 823 3491 3989 4751 1979 4261
1663 653 4243 991 4679 5009 2963 4219 919 449 2791 2237 2447 1789 4721 1399 661 773 3449 3823 401 1481 853 4951 3257 271
4139 4871 541 4133 3299 4273 1279 1109 2203 1619 167 4019 67 2297 3533 3851 1613 677 3359 3119 263 983 2957 439 3583 2699
2357 4409 2473 3529 3727 2633 83 503 3637 2971 3463 863 3623 2857 29 3889 1951 149 4217 3229 1933 859 1031 3323 2267 1087
383 1319 953 3659 2143 2341 3203 827 4519 1483 1291 379 3559 1877 293 2833 433 4783 3343 2111 4231 2663 3617 659 3709 4481
3001 2909 2423 4153 2531 431 2293 3023 2251 4129 283 1193 4397 1277 3931 769 367 1861 1973 3169 251 2089 3919 1709 4073 2687
2161 151 4877 409 2399 19 4987 163 2221 4903 883 4909 3947 89 4919 11 4253 3389 4729 197 37 1621 2389 3301 3187 941
137 4993 1559 1733 1871 31 3433 4421 43 173 3943 2521 127 131 3181 1033 2081 4967 4391 1511 683 3163 3251 2731 4933 4051
641 733 4973 1531 2801 4337 3967 1303 751 317 3037 4211 2333 4049 521 5051 4111 5039 967 373 1697 1471 1447 701 1123 3607
709 2789 2729 2819 1361 2011 2657 4583 3079 113 2861 2129 2003 1283 2903 2459 4027 601 821 1213 4597 2843 1747 4507 1811 2437
3517 2417 3541 2371 17 101 1931 4339 613 617 2213 2549 3739 4561 911 1039 599 3923 1019 4957 4373 3677 2017 3307 397 2347
2851 1657 3539 1607 2713 1229 1879 2381 1097 4013 3167 3643 3499 2269 3371 2683 3691 3907 491 157 1721 1439 4937 1249 179 1723
4259 4493 1493 2897 3391 1237 419 593 1297 109 1907 347 4127 1381 2969 3373 4673 1307 389 3779 4363 5003 467 3467 353 2999
3613 461 1223 2557 1129 4229 421 479 929 571 1913 2767 2617 4801 673 4001 2503 3547 4793 2741 1609 4091 3769 3697 331 1627
n = 27 Массив чисел: 3, …, 5521, но …
Здесь есть два варианта массива: 1) заменить число 5501 на число 5569; 2) заменить число 5519 на число 5581 и число 5521 на число 5527.
Магическая константа 69251.
Наименьший магический квадрат 27-го порядка из простых чисел (первый вариант массива)
ORDER=27 MAGIC=69251
23 181 11 151 1019 1567 4937 2689 353 3229 1229 4637 1289 3251 3259 1481 4273 5021 4259 5413 751 2719 4729 1381 4523 3463 3413
2971 4099 1637 2383 2791 4723 4271 3571 3911 2003 2473 421 3359 71 1423 1097 2927 3407 241 5483 1471 661 2243 907 1303 4447 4957
1049 3881 1231 3187 3793 643 4481 5303 3803 5003 3853 2549 1109 3209 587 431 3001 1009 1607 3673 3361 577 2683 1867 1171 4091 2099
1021 2381 4951 1321 5197 3917 5417 1399 1451 1429 1723 2879 2069 5347 191 1217 883 4127 4643 199 3659 397 3701 107 5179 443 4003
5431 1733 317 2129 4057 4583 61 2423 709 4139 419 1523 2273 2801 4201 2459 167 3469 4211 1531 1367 4813 1123 1787 3923 2999 4603
2557 797 3457 83 3217 853 571 2707 5237 2131 2351 5023 1801 2539 1949 4969 1277 4027 2311 5419 3313 1279 89 5297 1319 2267 2411
641 4789 3919 5039 3181 1499 1549 1997 1601 569 2017 5443 4561 659 2137 5381 43 3797 101 599 3671 3167 2647 4339 3739 1483 683
881 2269 1511 3631 673 173 2153 2089 3967 409 349 1889 3331 1447 1223 2347 5171 3467 2677 4817 5477 3779 373 1913 3019 4943 5273
739 1993 5351 37 307 5153 3607 1811 2063 1847 4177 3761 3559 2377 2141 3847 4013 719 1543 2441 3491 3323 5279 1933 1571 337 1831
4751 1409 3067 4733 4547 263 2029 2179 2753 1031 491 727 1117 3617 2917 3989 5261 3191 233 1709 97 4651 4217 4799 1193 1663 2617
4877 283 2857 359 3697 3299 761 4889 1979 1777 4093 3529 3253 1657 461 1627 2939 1559 163 4363 4021 4423 2851 2333 1039 1459 4703
449 1487 157 3449 4909 5147 4229 2671 2251 269 47 2657 5281 4801 5407 3511 929 3727 947 1669 193 1999 1609 4457 4591 127 2281
2437 3583 2749 5107 523 1553 3907 2621 4409 4337 103 941 617 2521 3163 67 857 5393 3533 3169 967 2237 1163 2087 5119 5387 701
5231 2963 1061 4219 277 1327 4973 223 1951 2789 3643 3343 2309 919 3373 5441 3677 2053 4129 2207 5 4673 257 2357 2293 3541 17
823 4657 4391 5449 2341 433 3023 743 2903 787 4517 79 3527 5519 3947 3833 1747 601 1613 1153 2897 4493 2833 179 1493 487 4783
5479 2039 4483 757 541 1181 1873 619 1213 2143 2467 3037 4663 4111 3461 953 401 3347 5167 2861 1877 911 2393 5503 4933 1901 937
2729 4153 3719 3109 3061 3301 439 5323 977 2543 2417 4079 809 557 2027 311 1741 149 3593 2081 1129 3499 4289 3391 4987 1759 3079
2447 4903 593 467 313 521 1069 3433 1307 5113 1091 5099 4519 3581 3851 1259 1427 4073 3041 1579 547 4967 5233 2111 1361 2633 2713
2297 4001 3371 3733 2837 4283 4621 1297 59 1187 4373 5189 1583 3089 5333 2203 3691 827 1973 53 3767 3623 1151 2531 509 859 811
829 769 3889 839 4513 2399 1103 31 1931 3329 3769 3307 5077 821 4507 4649 4451 229 2609 4993 2909 3257 1013 1439 2239 331 4019
3319 197 1667 4567 3049 613 5081 4679 4931 4051 4463 29 367 2083 293 1033 3557 563 73 7 4871 2777 2843 4231 1249 3221 5437
1063 3 1301 113 2339 4349 677 4049 1753 4441 3943 1373 5399 3137 5059 4831 1489 1693 5309 3613 631 2161 4357 2213 877 499 2579
3271 3539 2659 4157 2663 2803 3121 3011 4297 2953 4549 653 109 1201 479 691 4327 1697 1871 2819 2591 131 4793 1597 4999 4133 137
4253 4243 4721 3517 383 5101 1291 733 2287 3821 1051 251 3547 4241 607 1621 379 1699 5209 647 5227 887 2693 5569 863 3637 773
4919 3709 457 1453 3083 2969 983 4597 5011 463 2593 3863 2711 2011 4639 2741 2687 4159 1789 1879 4397 389 2887 13 347 2113 2389
4261 3203 2767 5051 3389 4691 2797 2731 1283 2371 3119 2699 41 1861 139 2503 3929 239 4787 997 1093 2221 1783 1087 4421 5507 281
503 1987 2957 211 2551 1907 227 1433 4861 5087 3931 271 971 1823 2477 4759 4007 5009 1619 3877 5471 1237 19 3823 991 5521 1721
Наименьший магический квадрат 27-го порядка из простых чисел (второй вариант массива)
ORDER=27 MAGIC=69251
2707 3001 163 13 2377 4243 1069 4349 503 277 1873 4523 3833 4409 1321 3407 1103 3613 5209 1097 4261 2039 2063 1783 3631 4663 1721
2903 577 2351 4549 3167 2003 1913 5101 4751 2251 809 4813 5087 3733 2089 7 127 3769 3083 2309 149 283 1489 2111 4463 857 4507
2341 2417 1297 1259 5197 4373 659 5231 2339 1231 3307 2237 3929 2143 2179 4001 4937 1951 401 5119 1439 109 3463 463 2633 1847 2749
251 2153 2203 1451 1499 1931 4217 3659 2551 4219 599 2113 4861 2693 4679 3719 229 3851 5407 1453 5333 5 3109 2963 1153 2687 263
5399 3319 709 2381 2857 181 2083 4297 4831 4733 4447 509 3373 907 4723 547 3767 3271 523 499 3469 683 179 2423 2239 1399 5503
2389 5417 4637 389 2521 4969 1033 541 4057 5419 4337 3457 641 3221 727 367 2969 823 1301 3727 2579 1223 853 4229 2657 1277 3491
1039 5003 4583 1669 2069 269 4787 787 2753 2393 2953 4027 2677 421 313 1543 3391 1289 593 4493 2741 5081 2713 5581 457 4013 1613
947 3511 3607 4933 4567 113 5113 4099 233 859 2549 1123 431 2591 647 4793 613 29 5441 4211 3923 397 461 3413 2543 2957 5147
3701 487 3643 3181 1049 2297 2879 5431 1429 3907 2789 769 71 1009 4283 4127 2531 521 2801 911 4691 2281 4561 2503 5023 2357 19
877 467 5009 4943 353 1013 1181 4999 4817 3557 4993 373 4357 3539 5483 1907 347 1471 1663 443 2897 5237 1709 2441 2383 1801 991
4759 5303 2161 2221 2671 5381 449 1609 739 1889 1229 2473 239 3943 197 4877 3847 3089 3389 23 3671 3739 4517 211 3821 2053 751
3023 2621 2791 2711 349 3527 983 4397 3583 883 4603 757 241 3947 2269 3229 5507 1571 997 1447 4513 1601 4157 2477 359 1741 4967
1567 2017 1327 1427 1823 1021 5297 4703 4483 1307 1061 1151 1759 4919 199 2647 2467 743 1777 1459 4363 5233 3691 4931 1657 4903 1319
919 2927 4871 5011 607 1031 1433 1483 3253 3467 409 4987 1871 5189 5479 311 1747 2609 5227 3037 1051 3343 3137 941 37 2887 1987
3967 2971 3079 5051 3361 3119 4289 2311 3259 4153 31 719 137 157 2027 1553 1217 5167 653 5261 3323 1511 661 5273 2797 1117 2087
3313 3889 4801 2131 97 439 3917 1531 2137 3779 863 3793 1523 1409 2081 2617 4457 1637 3499 929 1621 2731 3823 4649 1381 811 5393
79 1367 491 3347 3709 3593 227 89 307 3623 3911 4201 2447 1879 167 797 4421 773 5279 2539 3433 5443 5099 3449 1933 4441 2207
4139 3533 1861 2399 4639 3637 691 41 5449 619 1867 4339 3049 3331 1093 4591 5021 1129 3877 2833 83 131 1607 4079 4909 47 257
2999 4951 4111 53 61 317 17 1373 4159 967 43 5347 4721 281 1481 1733 73 3163 643 5309 3571 5351 4177 2861 4091 4481 2917
3673 1087 1877 337 3187 587 3863 1187 2819 3191 1291 2273 3011 601 4547 563 1063 5153 4271 4003 3067 1699 3617 4889 379 1693 5323
59 1999 937 5471 173 4093 4423 331 2837 3301 3761 2099 3581 419 3677 4789 1249 4051 557 4129 571 3989 1201 1997 4007 3257 2293
3169 821 761 2939 3881 5039 3517 191 2347 3061 1811 673 2287 271 4973 4957 1019 4259 2663 3203 1493 3359 3 139 3797 5059 3559
2729 701 1973 1993 5477 1949 1619 1213 953 4273 3251 971 4049 1697 5107 3853 617 4657 151 1109 1279 3461 4799 1559 5501 2683 1627
3541 4621 2141 2659 193 4783 2777 3209 2719 107 4073 3803 1667 4133 2459 4021 5077 1487 5171 977 1091 2213 479 1193 2803 67 1787
4519 1283 2593 1423 5387 1171 3329 5437 223 1361 1583 827 4019 2557 2689 2699 1789 3217 2851 3371 2767 1753 4391 887 1597 3697 1831
4231 1979 677 2011 3529 4241 2843 1549 881 3121 5527 4651 2371 4673 2029 1163 5413 2411 101 631 1579 3919 383 1237 733 4327 3041
11 829 4597 3299 4451 3931 4643 103 839 1303 5281 2243 3019 5179 2333 433 4253 3547 1723 4729 293 2437 2909 569 2267 2129 1901
n = 28 Массив чисел: 3, …, 6011, но заменить число 5987 на число 6037.
Магическая константа 78100.
Наименьший магический квадрат 28-го порядка из простых чисел
ORDER=28 MAGIC=78100
2273 4127 1949 3037 4243 251 2083 3583 3167 4903 4657 5051 839 3671 4643 2887 2417 1993 239 5791 701 4007 4723 1181 1429 3359 67 829
601 1423 677 5171 47 6011 3911 4073 223 4861 5821 2591 173 4057 5743 4549 2729 3529 1459 2551 4397 1667 1019 1051 1747 3089 3947 983
2699 3019 1663 3023 3517 5869 5449 2129 2011 257 2351 863 4973 5077 593 5651 1033 1103 3461 373 2347 4733 1997 487 4759 1933 5501 1229
5879 5443 1069 4217 5939 4621 3847 1301 4987 1483 1723 1013 743 2161 3623 113 4507 4231 4337 3079 727 523 3229 3593 1279 2243 1627 563
4783 269 4957 3697 139 311 1607 163 5669 3491 5483 4789 4463 2609 1093 1153 5581 4363 2311 5419 331 2663 5861 2179 977 809 211 2719
2939 1187 5323 4271 509 3137 1889 2287 5023 2251 4013 1553 2897 2753 919 4967 971 3821 4297 2203 4091 1789 5827 3613 1951 433 2953 233
947 3643 1039 1931 5857 3559 569 1867 2027 3733 1823 5701 3547 4027 2969 1489 3677 751 53 3691 5113 359 1579 5399 4999 5441 1847 463
227 4517 5521 4289 4787 2837 2053 5807 3119 4603 5021 503 2239 1901 2309 2687 2851 3607 2917 2389 1237 2297 3253 3 4483 1297 907 439
2411 4153 5641 263 2131 479 3727 5503 4349 101 17 5569 5227 1151 2063 3853 347 499 4003 1601 3797 3407 1283 5101 3659 997 5197 1571
3793 3433 1783 2423 1123 6007 3187 3631 31 4049 5903 2377 521 2789 3209 4969 3881 857 229 281 5527 1427 719 1567 1487 2683 5563 4651
4663 89 1409 5711 2767 71 2137 5471 1973 2909 2503 3271 5531 277 3391 1613 73 2281 1009 1619 5647 1289 2549 4951 3221 5437 389 5849
383 1697 19 2293 4583 4111 4813 619 3709 4229 1721 5153 2039 97 83 1709 3061 2393 5923 4639 3539 3467 5431 3301 2441 443 5237 967
2927 1549 5639 4327 3169 3251 2207 193 3319 5591 59 2593 3923 107 167 3989 283 11 733 3463 3907 5099 929 2803 4519 4721 4129 4493
197 5783 1499 1523 349 5393 2381 5839 3851 1217 661 5167 2467 199 3191 4157 2971 5689 3343 607 3833 3779 157 2647 5477 1223 241 4259
887 4831 5843 859 2843 3373 457 5741 547 2213 4451 4877 2731 6037 1117 2539 4591 4729 431 449 3163 1531 3719 811 137 823 4211 4159
773 3581 3413 2341 4021 2437 5009 2801 3389 4219 109 3469 3083 2221 5297 953 761 3257 5381 5087 149 2531 353 653 3761 1693 1621 5737
103 2857 4261 2861 797 1439 5039 5573 4943 4019 379 1171 587 5897 5231 827 2237 2113 3307 4079 617 367 4933 4597 2383 4283 1321 1879
3889 2633 3049 1433 1097 2711 2153 1303 3541 683 5657 131 3203 3919 2069 5081 5479 1979 2659 5851 5407 61 1999 2267 659 2677 5261 1249
2459 3109 1213 2399 3041 4409 1129 23 317 1493 2749 37 5927 4679 5867 43 4391 5653 1877 1109 2447 5953 2333 3931 3823 883 1699 5107
3181 599 1481 4139 709 1021 1031 1087 5189 4993 1277 491 1801 1777 3499 5413 4931 1163 3323 4889 191 3001 3701 2269 4099 4253 3259 5333
4421 1787 2543 673 5683 2017 3527 853 3011 1811 1753 5417 1373 5981 1361 2003 401 877 2707 1759 2143 769 2579 2371 4481 5347 4793 5659
4673 1733 5779 1327 2963 397 1063 5717 41 313 1381 337 4457 2671 293 421 541 4373 3557 1307 1907 5801 1669 5309 4547 5011 5233 5279
3769 2099 3299 127 941 4241 1871 2521 2029 3457 557 3967 3673 3637 4273 2741 1061 1987 2557 787 881 4703 4133 5303 2357 4357 2081 4691
4649 937 461 3803 4751 2791 5281 1873 5209 991 5003 4817 2879 821 4799 2089 4523 4561 2689 1367 757 2957 3449 7 1451 1231 641 3313
4339 1637 1399 739 5387 1657 3571 1597 409 3121 4423 3863 2903 419 3067 2819 4937 2713 2473 5351 1543 5119 1091 5693 2833 2657 1291 1049
3767 3943 4441 5623 1913 151 3361 3533 1201 1583 5749 631 1193 2339 643 1741 2477 4001 4177 4871 4051 5179 1453 467 3617 5147 271 577
4909 5881 1259 3739 3347 29 181 2999 179 3917 79 2693 2621 1319 3371 1831 3877 647 4447 691 5557 1511 3331 3929 911 5059 5273 4513
1559 2141 1471 1861 1447 5519 4567 13 4637 1609 2777 5 2087 5507 3217 5813 3511 4919 4201 2797 4093 2111 4801 2617 613 571 3329 307
n = 29 Массив чисел: 3, …, 6491, но …
Здесь я нашла четыре варианта массива: 1) заменить число 6451 на число 6529; 2) заменить число 6469 на число 6547; 3) заменить число 6473 на число 6551; 4) заменить число 6491 на 6569.
Магическая константа 87697.
Наименьший магический квадрат 29-го порядка из простых чисел (первый вариант массива)
ORDER=29 MAGIC=87697
5717 1531 3967 1951 4093 1723 4789 1669 3187 5281 6029 5843 769 1109 4931 19 659 2557 2143 4793 47 103 5003 3119 1693 6367 1451 4813 2341
5857 2393 2879 4013 2897 857 367 2939 5477 5 2731 3217 3929 5927 101 3863 641 3257 1607 4729 6299 4973 3037 167 4457 2081 3539 1511 3947
1543 409 5581 2287 619 6037 6131 4229 683 4201 179 5639 3499 4969 1663 4133 4649 1553 3067 3671 757 2243 823 5417 4127 227 3691 2347 3323
4283 1627 1889 4157 811 3203 1733 6121 2699 5023 61 2039 6287 5273 353 2069 4937 5701 1381 3347 5861 277 223 5801 1609 1567 191 3583 5591
139 4799 4177 2521 457 3643 131 3079 971 5101 1049 67 5669 1597 863 3209 6199 5791 2437 4933 2473 2887 1283 4759 1373 5479 5419 5279 1913
3593 2531 4691 1879 6481 3853 2237 5261 5449 839 1193 3527 1291 5711 23 4673 2719 6089 2593 1483 241 1999 1801 107 3607 3517 617 6151 3541
4637 4861 557 2251 3391 421 5563 4423 6343 4451 5309 113 2371 2503 1021 17 653 5227 5113 4567 5507 2957 3557 2549 1123 4273 953 443 2543
1747 3719 1907 1697 5651 4507 317 2203 197 6397 919 4397 1223 6271 881 4003 4583 4513 1097 3301 79 5333 2029 4481 4657 691 2777 4327 3793
4751 1637 673 3533 2609 613 4129 4217 2801 743 5011 6323 3061 3407 1823 6373 5557 383 211 2111 1861 2179 5119 1171 601 4021 4259 4597 3923
7 11 3271 1103 947 887 2903 6257 3943 3191 5209 4549 1709 2687 2971 2083 5471 5849 4099 2423 2713 727 1811 127 5623 1583 6073 3169 6301
2221 1091 2833 1997 1699 1297 1459 43 1301 239 631 4943 4253 2131 4903 2749 547 3889 3491 5171 4241 1063 2999 4967 6203 5981 6163 5569 3623
37 6101 1327 6473 859 4889 3917 3697 313 3581 1933 173 2399 151 2707 491 2297 6247 1499 3449 6197 1657 1009 4993 2447 3313 6329 4561 4651
1523 2017 5573 1571 5939 2417 2953 2239 2551 1033 787 3373 2917 4007 1439 2333 1973 1721 2663 1549 5647 6449 4957 3041 433 1759 2383 6113 6337
4987 6007 6053 251 1163 983 3701 3457 3359 3727 5399 5851 2063 4261 5351 3023 431 3673 4373 3461 83 941 3221 2161 1847 4289 2309 1039 233
5387 4517 751 739 3877 4339 1987 503 3089 3467 359 5693 4831 4337 3547 6277 1321 41 4999 577 2003 1487 829 5147 5153 1151 6379 3823 1087
6221 6427 5839 2843 389 6011 3511 1361 2711 1031 3919 4111 5077 193 2207 439 4159 2089 797 1319 4703 2539 2689 2267 5827 4817 1249 2099 853
5099 4909 3847 3229 269 373 199 3803 5189 1187 4663 967 5903 4801 181 3911 5867 2927 149 2767 331 4721 3001 5059 3797 2659 5441 71 2377
4363 3083 4001 4547 2053 5531 5197 293 449 1181 2963 5107 6173 6143 5869 3613 1777 1453 4019 607 499 6389 709 929 2621 1277 2851 2633 1367
2351 3469 541 5437 6491 5743 397 5657 4591 4733 1601 647 1279 5749 6469 3137 3559 593 1427 3833 4073 4243 1741 1433 53 3989 2027 821 1613
1621 5987 2741 463 5897 4643 4639 2791 2591 2459 5443 337 2389 701 5501 5923 1901 467 4951 827 3463 1559 4783 509 2819 3761 1229 1619 5683
3049 937 4523 487 3851 877 3881 1789 6047 3733 3251 311 1783 4091 5381 283 2467 6529 3779 401 3163 4271 677 3181 2381 5167 6317 733 4357
3019 3637 461 1153 271 229 137 4049 1201 5813 5519 991 1117 773 5303 5323 3121 2153 2293 5297 2141 4297 5051 6133 6079 907 4493 4463 2273
2357 1019 2213 5527 1877 6091 1931 307 5087 1993 4057 97 163 13 5039 5231 4723 1423 4871 6311 6043 5737 5413 1217 347 4421 2617 911 661
1213 2441 2647 2753 3529 3571 809 89 3307 2113 1409 5081 599 4483 5237 1493 3331 4139 3821 4447 1013 5659 5821 5641 3617 2797 2087 643 3907
1667 6229 2671 4787 3253 1831 5483 5783 1303 2657 2129 5431 1787 1307 1061 1481 563 3631 3109 761 3739 6269 3389 6353 569 997 2677 4051 2729
587 2803 4603 5807 1237 4877 4231 1489 3709 379 4027 157 5689 4519 571 3011 4679 2281 5779 3299 3413 883 3329 1093 6211 2579 1069 977 4409
5503 1753 2311 5009 5741 2011 6361 523 1289 3769 2339 349 2411 479 3259 257 4441 29 4219 6421 5179 1259 5879 2857 3767 3677 1873 2861 1871
2269 1471 2477 6263 5953 5521 5233 4079 1979 5021 3361 4211 2137 31 6359 3659 3343 59 4391 263 521 1429 6067 109 2789 419 1231 5653 1399
1949 281 2693 2969 5393 719 3371 5347 5881 4349 6217 4153 4919 73 2683 4621 1129 3433 3319 1579 5407 3167 1447 2909 1867 3931 3 2837 1051
Наименьший магический квадрат 29-го порядка из простых чисел (второй вариант массива)
ORDER=29 MAGIC=87697
5647 691 179 41 1129 4057 701 2069 4243 331 2389 3181 1481 2797 5657 3847 4679 2897 1559 4789 2153 1637 5483 3209 5953 3533 4273 3253 5839
2777 6247 967 3671 937 1607 1291 2887 1307 317 2437 571 5827 5153 5167 5323 67 2939 223 6287 4969 2383 4507 727 1997 43 6269 5009 5791
5011 6229 3361 2591 3359 1877 6037 857 797 2647 5309 3511 4127 2143 3853 2707 3371 1999 4993 2273 1447 4297 2269 947 3719 5569 1013 17 1367
4957 523 3187 3329 5927 5233 1049 1117 6067 1553 6197 6473 2503 911 4817 1549 1823 4441 4933 5743 6053 809 59 37 1433 1423 3559 1249 743
5227 1873 6449 4201 883 6491 4987 3967 3373 859 367 3889 1951 1619 353 2551 601 3449 881 2129 5807 2657 5557 2861 2099 6047 3169 2213 1187
4663 6151 1069 271 3391 4139 5387 263 3413 733 3761 3691 5503 5087 4481 337 4463 5711 2857 4583 1907 127 1609 2801 191 3617 1459 5113 919
467 3557 673 2423 2833 2903 1583 5741 5101 5437 3313 2467 1831 5821 4549 617 1657 1627 659 6379 1289 4027 1747 5281 2003 3251 4019 1949 4493
5021 4517 5189 757 3319 4253 2687 3911 3659 2011 3257 1103 1493 5419 2287 907 2927 409 73 6101 4909 6317 2671 3011 79 5333 929 5059 89
3643 4513 6173 3491 3881 461 5077 6163 2879 1499 113 2617 509 2029 2917 719 97 6257 1597 1451 1721 6199 4211 2281 19 5303 6353 593 4931
3851 3163 5737 1871 4967 2521 29 1063 4649 6263 2377 4079 4283 547 5869 4391 2179 2663 1031 401 1009 5639 293 3571 6323 2027 3229 3461 211
2531 6121 5581 389 6547 5701 1283 1987 1483 3049 71 379 5801 479 2957 1663 3943 1777 4241 683 6397 1787 2699 5641 1019 613 5413 1931 5531
3917 977 1811 2339 4783 3907 5881 421 2141 439 3083 6073 6311 5209 1427 1229 4759 1399 6301 3623 941 2767 3797 4751 3217 103 1453 2621 2017
173 31 709 541 1087 4721 1051 569 2393 1723 5779 4051 1193 4889 181 3433 5857 4457 5861 6299 4423 1759 2659 6011 3803 3613 2053 4357 4021
383 2791 6481 6091 2473 811 1279 4337 1171 1181 1973 283 5653 4999 23 3089 3389 6089 6113 631 1217 3259 853 2851 4099 5081 3467 5783 1847
5297 2633 4567 4093 1039 641 1861 5939 2447 107 6343 5381 4397 5651 821 53 2381 397 5119 3001 3607 193 2089 3019 6337 839 3877 1297 4271
4007 4729 6389 251 3331 1231 1319 4261 349 2417 3023 1993 3539 4673 769 5347 4229 3137 359 2309 4943 5923 4219 3919 3833 563 281 5261 1093
2293 3463 3727 1237 4561 503 229 4049 6329 277 2297 2789 3821 1979 4793 3701 5693 5717 157 3779 1697 661 6007 953 2971 2753 5147 607 5507
4133 3203 2399 4001 619 2357 2411 2371 2731 4733 5279 5501 1699 6427 4177 4289 3221 227 1613 4409 1409 3407 1109 5479 1579 1201 5849 131 1733
557 4787 2137 449 5527 2341 373 499 4651 4129 1933 2477 3517 419 4217 3343 3593 5521 1801 773 5039 5431 6131 5273 3067 2683 3583 3307 139
5749 149 1601 4657 3769 3061 3677 2689 1439 4339 1543 4111 3499 653 2083 5051 2243 1693 3947 431 6271 3271 2207 2963 5179 3923 2087 313 5099
2693 307 997 6079 2039 4519 4937 3109 151 4877 1487 5477 1867 677 1669 991 2351 1471 6451 4373 1901 2803 3697 4157 2593 4363 4091 5237 2333
2557 6221 4259 6217 1489 761 5623 2843 6029 4723 5231 1301 1571 11 3931 4231 1429 3301 647 739 1753 3041 643 83 4621 1277 3673 5669 3823
751 599 2203 5171 4973 2819 5443 6143 239 5519 6361 1163 109 1223 1709 5399 6133 311 3863 829 4919 4597 3469 241 3541 2237 587 1303 5843
1097 2081 1879 6203 1621 2251 5197 5023 2713 4643 487 3167 2063 2711 61 4451 4603 4003 5659 3527 823 3457 5689 1741 5563 1153 257 5407 167
3733 1567 577 1123 1913 983 5981 347 3299 4639 3739 3529 5813 4523 1361 3323 2909 2719 5897 197 137 47 6043 4951 463 5573 1091 6421 4799
3 1151 457 1373 1033 3191 5441 2749 5591 4831 2729 887 1789 1511 5903 2239 1889 2111 4073 4703 5 101 2579 6359 4871 4547 5867 3347 6367
4159 3079 3989 5003 3037 4327 2549 4447 6277 4421 2969 1259 3793 2347 6211 4349 3631 2953 827 1213 2267 2677 1381 2131 1783 1061 521 1327 3709
1523 4813 2837 5351 2539 4637 787 5417 2543 4013 269 443 1321 3637 863 4801 971 3119 491 5879 6373 2741 1021 2441 2221 5107 3929 5449 2161
877 1531 2113 4483 4691 5393 3547 2459 233 5987 3581 5851 433 4153 4591 3767 2609 4903 5471 163 2311 5683 2999 7 3121 4861 199 13 1667
Наименьший магический квадрат 29-го порядка из простых чисел (третий вариант массива)
ORDER=29 MAGIC=87697
2423 1907 313 1171 157 379 5147 1613 4813 4967 6101 6421 5641 2749 4733 3181 2089 6287 4259 1699 1013 3163 3 4019 1583 5651 3797 71 2347
1867 5557 3463 5569 1637 5051 4127 1627 1913 223 5827 2063 2549 5399 3607 6373 1291 907 2087 1949 5519 3931 3217 5261 53 347 1109 3301 1873
877 5297 953 5417 1031 3359 439 6359 2399 2383 1667 103 5717 4091 43 701 5813 1741 3911 4051 3853 2111 4211 3109 1433 4297 2689 5039 4603
1451 4099 547 751 3329 4133 1009 2927 5443 5431 683 5153 2389 613 2777 4253 109 3733 3313 6131 2273 2503 4919 4493 367 4421 4751 4987 709
4903 941 1049 6113 2953 2713 3347 1997 6037 521 1993 2729 251 2297 6247 5939 491 5953 2593 5237 1663 163 2719 3049 659 3089 6053 5897 101
5669 59 4801 3923 967 29 1979 1571 6229 3331 743 4861 359 821 149 3709 5441 1297 2887 6067 5381 4423 3889 2441 5197 397 5009 2797 3271
461 4219 577 4339 4969 47 4679 2969 1759 1523 5987 3391 4513 269 5801 3767 6043 5407 6379 541 4483 1801 5743 719 5 5059 1193 83 971
2311 1163 3361 4787 4283 3593 2251 6427 1069 2917 2161 1249 1303 5623 5869 643 2903 1201 457 2791 509 5693 1423 5023 2017 4463 1361 6143 4703
283 173 5081 1381 2069 5573 5437 2333 5857 463 5279 4243 2099 3541 4049 653 2281 2081 2741 2381 2039 6277 1237 2477 5351 787 3257 3323 4951
4999 5821 3137 2521 2707 4397 1877 2659 281 5413 2179 1399 3119 1499 2837 6299 1039 1129 859 3019 3373 1279 5521 4931 5839 641 3389 5011 523
2963 3253 3881 1021 2677 2269 4909 761 4271 6121 1283 619 6271 1373 5393 131 5087 3779 1277 2557 4877 73 5273 1549 5471 5231 4597 263 467
587 6203 727 401 997 4457 5479 661 3943 1823 1783 4933 4057 5189 1597 617 3947 4273 2609 1409 6217 6451 349 3821 1889 2539 4073 2939 3727
3517 2731 389 4871 5099 2341 3571 5879 443 229 2467 137 631 3643 3697 3793 863 5021 4567 5867 5711 383 6029 421 1951 4363 5507 823 2753
4153 3499 5347 1489 2459 5639 2213 3259 6343 1427 317 1447 3169 6091 2621 4957 4729 4637 4673 1181 2957 1319 241 3863 1973 373 1471 2551 3299
3539 593 5483 3343 431 3637 4831 1087 1879 3319 4349 2137 3631 5591 181 503 3617 2833 4231 3011 2437 809 2357 4289 3041 5527 5581 1901 3529
881 4651 1483 3511 4327 211 4357 3413 1151 4079 1861 433 6481 167 257 2657 1777 571 4409 5683 6317 5171 3877 739 6221 5563 127 5119 2203
1217 3469 311 13 4889 337 599 1223 691 2663 4447 5849 2647 1579 1669 2131 1439 2801 2767 3691 3491 6257 4783 5689 3719 4547 6337 4001 4441
3449 79 5503 3533 449 4013 977 3833 293 1307 1493 5881 769 1453 1619 271 2971 1811 3037 6397 3929 6491 6353 3371 4993 5077 107 3581 4657
6269 5653 4561 1657 3917 4583 1511 3407 733 4517 4391 419 5783 4817 3673 1103 2243 4549 5851 1019 1327 839 19 5113 1231 601 2687 2591 2633
647 3187 1097 227 5309 2851 4159 4027 6073 499 7 2053 1693 4789 3547 5741 1723 6311 5333 1831 937 4721 2309 2129 2293 2543 3851 4643 3167
919 3467 2113 3067 3613 4157 4799 2711 5981 3847 179 3121 1187 3209 3307 6389 1123 1607 1531 1321 1987 3083 3203 2207 6263 17 5807 4621 2861
5659 3191 4591 4217 5701 773 2473 2339 2531 1999 6449 5209 3527 4337 197 1301 3433 1033 1931 1093 2221 1789 1091 1697 3559 3769 4201 1213 6173
2789 883 409 2579 3061 3803 2011 67 5927 3989 6007 6163 31 1051 6211 4759 2999 4129 5107 3659 1117 811 991 3823 4507 479 563 4241 5531
4723 2239 5101 5791 1367 3221 4793 6469 1429 2897 5233 1601 3761 4943 6301 757 6361 2083 4519 191 3583 1153 887 797 11 3671 487 911 2417
4937 6199 3457 3229 6197 6079 3907 3251 1289 4003 6323 4139 139 569 1459 233 6011 1487 557 2447 2693 2617 3079 2141 5227 239 2351 2377 1061
4373 2879 4093 5749 2909 61 89 1559 2237 3461 6151 4451 6551 2371 5003 829 3739 3557 1733 2027 2819 2671 4649 3967 97 3919 2843 1063 1847
5843 853 4229 1621 4691 2143 4261 2683 41 5501 113 2029 5477 1787 4523 5387 4021 1753 1543 2857 1933 2153 1259 193 6329 4111 3623 607 6133
5657 151 5903 4177 2803 1481 1609 4663 2003 5167 353 983 3023 6089 307 5647 1721 277 827 5323 3001 3701 5779 947 4007 673 199 6047 5179
331 5281 5737 1229 2699 6367 857 5923 4639 3677 1871 4481 929 1747 23 4973 2393 5449 1709 2267 37 5861 2287 5419 2411 5303 677 1553 1567
Наименьший магический квадрат 29-го порядка из простых чисел (четвёртый вариант массива)
ORDER=29 MAGIC=87697
3491 3881 1109 5813 1609 3109 1511 1663 6257 761 131 2957 2417 4523 2683 6473 5011 593 4817 3823 3167 617 4337 5479 3061 2699 59 4789 857
349 1087 5273 2459 3761 967 6301 2087 467 5431 137 127 4421 2903 3089 479 5801 643 5179 1571 4861 3203 1949 5741 2153 2687 5779 5419 3373
6029 3257 547 4933 2777 1667 2341 2333 1223 4967 1453 4597 2447 2939 4133 1979 4261 6361 4423 1567 751 5087 163 773 2017 5669 1399 4297 3307
2039 6271 4567 5209 3 2243 1439 4289 3527 1907 4363 2347 3907 3463 4673 2351 3767 1531 337 347 229 1103 383 2473 3719 6047 6359 6421 2383
919 1019 3613 487 1777 3023 5441 307 1607 2251 2161 6299 2207 5381 4643 5647 157 5653 5897 1987 983 4327 5413 1427 2411 1429 5861 3371 1999
2467 107 1423 953 2273 4729 6067 223 2713 4057 3671 179 2729 5119 5281 2887 2789 2203 2081 1637 401 5881 2437 5189 6211 5827 1409 1097 5657
5077 103 211 2113 719 6043 6199 3779 1021 4561 4831 2749 587 3947 3407 5641 5021 4583 1861 37 907 757 4903 1789 6353 5573 3623 853 449
1873 2591 1153 41 3673 3631 3929 727 859 3793 4457 4091 5689 5171 191 2909 937 5557 2503 4271 601 4021 1867 2309 4751 4483 1069 5449 5101
5197 3229 4079 2213 691 2879 1063 5471 89 359 607 2069 4481 6263 3019 409 1787 821 1259 4349 5501 5939 3067 4507 29 6229 6163 577 5351
4951 1621 929 2129 97 1307 4889 5849 3359 149 4013 1229 4517 1709 2837 5407 4871 1061 6007 2819 6337 3851 2767 1759 6073 101 3727 19 3313
571 5347 3121 3739 1993 251 1499 5227 1811 6133 1031 877 6269 2393 647 569 1049 6379 2053 6481 2311 6449 2143 2531 1613 4409 2003 4357 4441
1193 3943 2099 1753 1579 4373 257 1693 5581 1489 4391 3347 1459 3037 6367 2609 2677 5099 6197 4051 2281 3011 67 3583 2239 4813 2287 3559 2663
2897 4657 4723 3119 4217 1549 1277 6343 4073 5231 2141 887 613 499 6173 2579 2389 193 1627 3637 2297 3169 6287 271 1783 2917 5519 4931 1699
4519 281 4679 5851 4447 1301 3967 6203 5839 2521 1361 733 283 61 521 883 4733 293 3593 1889 5417 5323 3833 5023 3001 4621 1237 1583 3701
6131 5531 2953 1129 1471 5039 4513 1451 6469 1289 2551 2963 4001 5113 139 11 3697 3499 461 71 3319 5009 3877 2377 6143 151 1733 5393 1213
3709 6221 1747 5711 5807 5303 4877 997 23 4793 5683 6089 4603 823 3343 991 4973 3911 443 4111 3797 433 17 1201 1553 1493 3863 373 809
1801 563 3691 3931 1181 3191 2027 2791 1051 2969 4721 3659 4283 167 5153 1973 5639 4799 3469 4397 1151 3467 5867 2693 5869 1279 1831 2801 1283
503 673 2543 5003 4127 3617 389 2647 5333 6389 739 2371 3529 1217 3271 4177 2659 4099 743 4139 5507 1901 397 1117 4649 4093 3221 2861 5783
3571 4201 3919 911 3989 2711 47 2539 4663 4253 1951 6277 1367 619 6427 2131 43 1997 5953 4919 5987 2357 3209 1879 311 769 3259 1559 5879
1009 797 2731 2293 3769 5737 1871 2237 2633 2011 3163 3821 4493 2857 3331 4547 457 557 4937 3457 4993 5167 6053 3181 1123 277 4211 5443 541
5743 599 1697 3517 5923 4219 4943 79 4243 2179 5821 2833 233 5791 1823 631 5081 827 3889 73 6121 269 2741 5261 1381 4129 6037 241 1373
353 5437 881 4651 5237 4463 709 5279 6373 6011 2719 6079 3803 3541 367 4591 1847 2339 317 2797 2557 3917 2803 2399 3923 431 463 2083 1327
5569 2707 2593 1319 6397 6329 1483 5651 2549 3299 5387 6217 173 4549 1877 4759 1741 379 1447 1597 2269 199 3413 5297 2657 1303 7 1543 4987
5591 4909 3137 4783 1297 439 6151 3391 3533 109 2621 113 3389 3433 3251 941 5483 6451 6323 701 31 1013 1487 1721 863 4787 5233 3187 3329
2221 2617 6569 4703 5981 1171 4159 2477 509 227 1033 2137 1523 4339 313 5857 3217 5659 419 3581 5147 83 4999 6317 3083 5309 947 1187 1913
3511 5521 3539 3557 4957 2689 3847 839 2111 2753 5477 5749 829 3253 641 5903 1601 2851 1249 4969 971 3547 2843 2927 3361 4637 1619 1933 13
3049 6101 4019 3677 1231 3449 2063 4241 491 653 4027 181 6247 331 3301 811 53 4259 3323 4639 2441 3607 6311 2423 1163 1291 6091 2381 5843
1433 197 4451 661 5623 787 3461 1321 4231 4153 5399 1669 4157 523 6113 4049 5693 1093 2089 5927 4691 2267 3643 3079 677 5 2029 4273 4003
1931 4229 5701 1039 1091 1481 977 5563 5059 2999 1657 5051 3041 3733 683 5503 263 4007 4801 3853 2671 1723 421 2971 5527 239 659 5717 5107
n = 30 Массив чисел: 3, …, 7001, но заменить число 6977 на число 7027.
Магическая константа 98084.
Наименьший магический квадрат 30-го порядка из простых чисел
ORDER=30 MAGIC=98084
3851 5923 1039 6197 3083 1049 757 2729 2939 4967 2897 3253 1459 6529 6983 6899 5479 4751 47 2251 2087 919 1559 2861 991 5153 4789 929 3037 2677
2687 577 79 5741 6719 641 5503 5477 907 2657 1847 3631 4229 6037 773 2521 4483 2447 2851 5501 4049 379 389 6863 419 6473 5059 5659 1873 1613
5107 4337 6689 5399 1499 3259 3989 2459 277 3529 1789 2341 5261 1567 5851 3919 2011 6763 2711 4657 487 5099 3877 397 4639 1493 19 601 4051 4007
6451 3917 733 3181 6151 2311 631 3023 6637 2801 1733 4703 5171 241 5927 4261 3797 2713 97 521 1367 4283 4201 89 3163 6907 6257 6793 13 11
227 5623 1543 3011 1693 6577 4519 4073 163 6427 1129 367 2843 1579 3709 5507 4027 2579 6709 1213 1523 5563 6329 5701 6857 449 523 3307 1193 3121
5387 821 6569 857 2887 41 1109 5077 2731 6917 6389 491 823 3571 1627 2347 317 4649 6971 3533 1297 6217 7027 2683 1637 1103 1487 6113 6337 1069
2137 3257 2693 3229 3803 1951 6367 661 4133 1783 5023 3169 1399 3581 3547 1217 6421 181 2017 1307 2213 6833 1907 619 3061 3251 6791 3779 6323 5431
6053 2129 1087 1013 5119 6653 911 6959 4567 3697 2879 3637 107 349 4729 947 4999 647 4211 1327 4877 281 1381 5297 709 5903 839 5167 6827 4783
433 3583 5581 1999 2203 4157 499 6823 1777 2617 2789 1429 1913 3491 2131 2927 5821 5051 2903 3853 4447 4139 4723 307 5653 3593 4441 5441 2081 1279
937 4759 2297 4831 3433 2141 4093 59 2503 5087 1117 461 6779 2089 2287 1553 6007 6073 4057 3109 5021 271 4219 3767 5309 6373 1009 3209 2281 2953
1423 2837 3217 853 2707 2441 5869 83 1259 31 3863 3137 4481 5857 3221 4079 683 6829 2339 997 3719 797 6011 1373 6521 4943 4457 5189 5197 3671
1973 4021 4177 61 2383 233 4733 6221 5569 1607 4153 2609 5011 2143 2753 6121 701 6301 5717 1051 2539 113 2099 3931 293 6679 1289 6911 1741 4951
2633 5323 6659 2053 193 4793 353 2377 4549 2293 167 431 5573 1021 1163 4111 5651 5413 3467 6311 1667 5333 607 5279 1609 5743 4957 1453 6211 691
4127 139 421 1823 5827 1433 6761 2111 467 6089 4507 1597 6343 941 4973 1303 3079 3187 5711 1831 5639 787 4001 5689 2477 563 5791 593 4217 5657
4591 3527 439 5981 1427 3167 2273 4091 6131 4231 3347 7001 4013 811 3761 4273 29 73 3643 4297 383 5939 6277 4327 977 2557 4547 1093 199 4679
269 1231 5179 3793 5807 2531 4993 5527 3001 23 6203 5081 673 5227 2161 101 1871 3733 1409 6143 3271 1721 6781 4801 1229 2411 3469 1321 4243 3881
653 5647 6491 4451 3613 151 1291 971 4517 4339 4463 3299 2371 6361 6691 1619 5281 283 251 4129 2857 5519 4259 337 4889 263 2027 1657 2671 6733
5351 4937 223 5419 509 3373 5521 1663 3559 1451 2269 3391 4289 4409 4583 6841 613 1301 6317 5783 2621 6379 983 3301 3067 587 3739 1889 2749 967
1471 1171 3499 6043 313 5693 131 4253 3313 3203 6607 2357 3517 5843 6619 3457 1447 1531 547 6571 743 5231 1933 809 4391 6869 3119 4421 191 2791
1123 6553 71 2473 6047 5779 2243 859 4903 4909 6803 4397 2663 3041 1931 67 6101 1091 1811 3821 2207 5483 3371 6661 719 239 6397 827 1571 3923
3343 677 5303 1153 1861 5683 2309 2083 2593 103 1747 5867 2833 3407 2237 2239 557 6949 6701 6967 2767 5443 2741 2003 6163 2029 1361 5849 2417 2699
3 2063 5839 5381 3691 6269 1033 1319 3541 6563 4603 3677 1697 3907 179 4271 1489 53 2267 6997 1787 4799 127 1621 5101 5737 2797 3823 2957 4493
6229 2543 727 3623 6091 311 6883 6067 1997 2549 149 3769 6199 4871 4621 6287 1601 829 877 6299 6673 1097 6469 347 457 1031 769 2647 2659 3413
5641 2333 6947 401 4637 6961 5039 137 1669 2399 211 571 229 3847 1709 2719 4373 2179 3049 2969 4423 643 5437 3727 6599 1549 5813 761 6449 4663
3191 5531 1181 887 1759 4159 1223 3947 37 6481 1901 5273 4721 2113 5009 1481 3967 4099 5897 953 3833 2393 443 3889 6551 2153 1987 5347 3329 4349
6247 5557 5881 3539 197 2963 4363 5591 3659 409 6991 3319 863 2689 541 751 4561 4931 1993 1277 4987 2551 881 4651 3557 5953 3331 3911 739 1201
4643 6079 4787 2803 659 4003 5237 5801 6581 1249 1867 5003 3673 4691 3019 1061 359 1879 43 569 6271 1237 4861 5209 4597 1439 331 2381 3511 4241
2467 157 4673 5 4919 1801 1699 6871 2819 2423 3389 5407 17 257 2351 5879 6353 4933 6547 503 5749 2039 1063 6703 2389 617 5393 1583 5471 3607
5987 1949 1151 5147 6263 3617 1723 599 5113 4813 3323 5417 3701 1753 1019 4357 2917 1187 3463 2971 6359 6133 109 1483 2777 4513 479 3361 1877 4523
3449 883 2909 6737 2591 3943 6029 173 6173 2437 3929 2999 5233 5861 1979 4969 3089 5449 3461 373 2221 463 4019 3359 1283 1511 4817 2069 5669 7
n = 31 Массив чисел: 3, …, 7577, но …
Здесь есть два варианта массива: 1) заменить число 7559 на число 7583; 2) заменить число 7573 на число 7591 и число 7577 на число 7583.
Магическая константа 109309.
Наименьший магический квадрат 31-го порядка из простых чисел (первый вариант массива)
ORDER=31 MAGIC=109309
4231 2081 733 6857 5641 4339 3 1069 7 6619 7129 4421 2029 1933 1051 6373 6247 1901 6521 5009 6043 2339 2459 3727 3877 6343 223 2953 449 919 5783
7499 4597 233 4643 7057 5261 563 6833 4657 1697 251 2473 4909 67 3919 6367 3307 2087 1867 5099 3907 6551 2113 193 3797 4273 1487 3329 5843 1213 3217
1699 3371 2719 1423 971 4993 157 619 1889 6673 541 4621 1801 6737 137 6871 433 5413 7537 4799 3803 4957 6529 6359 4013 5021 1453 6073 4637 1451 1609
607 4969 2861 6257 83 5347 4793 1607 5743 257 3271 173 1091 1289 2237 2161 3533 7457 3607 4813 3671 5477 1579 6793 5849 6121 4447 1193 3121 6113 2789
739 6971 2609 139 2503 1669 6781 3761 7103 2963 4789 991 6607 977 5881 3347 6961 2153 2857 7127 4451 2657 2927 653 7487 317 1163 1721 2063 5119 3823
6299 643 3299 4703 7577 5557 2903 3079 1433 1823 1861 103 2179 1637 2371 821 7561 1987 5417 2689 167 2579 3617 5303 857 3517 7193 7027 7547 6067 1493
6163 3181 1447 5693 5501 2749 5569 179 4519 647 6173 709 2647 2287 2341 1783 6449 3389 4159 3023 443 3109 97 5051 2837 5309 3457 1559 6323 6659 5857
4441 1753 4649 6053 281 4751 5779 5839 1483 5741 1931 5209 2083 1381 3779 827 5431 5669 5651 2417 1489 5507 2207 47 3169 1913 2441 3019 2039 7459 4871
89 3301 5147 1663 4133 911 983 6637 5351 5791 499 4951 4943 2273 5801 5101 3769 4127 6949 331 3691 1787 6151 151 1879 4547 7211 269 5861 1693 3319
5653 6869 3719 3631 3659 4523 7213 4201 661 1223 3581 6703 3119 6977 127 191 5107 4373 6803 3203 7331 2711 1523 3041 29 1747 2411 1601 239 2879 4261
4073 7019 1999 4673 6011 5227 5233 229 4639 6827 1279 4903 5189 6469 4517 7369 3739 73 313 1291 1093 757 1741 1301 6823 7001 3373 953 769 1733 2693
787 367 4153 17 5273 2393 2003 4507 5521 4049 5279 1471 6863 2797 1277 1667 2663 1013 4591 4759 3701 3673 3391 6907 6701 6317 163 5237 6763 4177 829
263 7489 659 7541 4787 3931 1171 1597 5531 907 6101 823 4861 3461 5527 3559 1613 3331 3947 1399 1217 3943 4423 3049 1789 6029 4651 3853 1627 6211 4019
7253 4877 2383 2617 6661 2309 4021 4817 6829 743 4057 2843 4513 2803 7297 4093 6301 181 1571 673 2477 53 6203 877 4933 4483 2447 4931 107 4007 1949
863 4099 2767 1187 967 1129 4831 997 3623 7411 523 37 6427 4679 5869 2333 6473 2593 383 379 6911 19 6761 4211 5563 6991 6353 7187 2633 1553 3557
5659 1259 2389 2543 4889 3323 5323 5581 6143 7039 6397 1303 479 3001 1459 6133 3547 2539 6563 307 4603 593 3413 839 2011 23 4937 31 5813 7013 4157
1181 2221 6733 2381 5647 5827 3541 5419 3967 2557 2683 3083 1873 7229 6599 2281 1117 7523 1831 6451 2129 43 4967 439 2467 5087 2687 4327 2423 3229 1367
131 2969 751 2027 1039 1321 7237 2731 3449 2111 547 1103 7043 409 5701 4663 3433 5683 6217 727 6841 641 1979 6571 4091 2069 5903 4001 7283 3089 7549
101 3221 7243 1009 5171 4079 41 419 7219 6421 7349 6691 2939 5011 4463 5821 557 2351 809 3733 13 1997 6689 5923 4219 5939 2677 431 2713 2213 1847
5113 3583 6917 691 353 569 4051 6491 6983 1153 6779 4349 1621 7247 6337 2671 11 3187 3067 3881 6197 6997 6263 1709 1973 421 2143 1531 677 2551 3793
4229 3209 4241 3163 461 3593 3313 5519 283 6569 4003 4409 6037 3343 6361 1229 683 3191 853 113 5851 6553 6079 5717 3989 2621 1373 3037 1109 5449 2729
2591 1759 241 79 1237 6271 397 5483 1993 1061 4783 6719 503 883 3767 4493 1307 3467 5003 2311 1481 4139 2399 5927 7529 1249 6653 5399 7393 6311 6481
349 7309 5471 4999 4973 2243 5953 1583 5231 2957 3929 5623 3911 2267 4481 571 4919 947 5179 7177 5153 2377 701 4243 4297 1049 3677 1231 3359 881 2269
6329 6091 7109 2531 1327 599 7507 797 3011 2137 2293 6277 2053 7573 1549 3463 1031 1319 2347 1723 5443 2909 577 3469 1657 2549 1201 7321 5981 4253 6883
7333 941 3253 6959 61 937 2791 4391 199 3851 401 4111 6547 613 4363 2437 3137 5749 3407 5167 5023 7451 761 197 3511 4283 7517 6221 5639 1427 631
5197 4801 3361 5897 1283 6389 811 7069 457 7477 467 3527 3613 3251 2999 3061 1063 6791 4027 5657 2699 1021 4129 1499 3709 2099 5503 7433 3643 149 227
3259 1951 7583 3833 2089 5407 5059 463 1543 5879 1439 6089 521 5437 3167 4691 4337 4549 509 6047 2251 5441 6229 6379 71 2819 929 311 5573 5081 373
7481 1033 4289 5711 2141 4721 1297 4217 1871 293 5591 3697 587 3923 1097 601 7307 7151 2897 6199 2297 5689 7417 4987 617 1151 5039 2851 773 2521 3863
1429 59 4357 2971 5807 1811 2131 4271 6947 2239 5387 5281 4583 6287 3257 4457 887 1619 277 4397 2707 6709 3571 5393 1877 487 7079 6131 1907 271 4723
4729 7207 2357 3889 4567 1123 5077 5987 5 1361 5737 6269 3917 389 1087 7121 2887 5479 1409 4561 359 5297 211 6577 337 4733 859 6581 1511 719 6967
3539 109 3637 3529 7159 6007 2777 2917 1019 2833 4259 347 3821 6679 491 2753 3499 2017 2741 3847 5867 5333 2203 1777 7351 2801 2659 1567 3491 6899 5381
Наименьший магический квадрат 31-го порядка из простых чисел (второй вариант массива)
ORDER=31 MAGIC=109309
241 3559 3517 3323 5807 2027 1447 2087 17 3733 89 5953 5503 4409 2269 3373 461 1297 5849 3 6703 7069 4703 6967 7109 1409 5197 557 5281 7237 2113
839 4729 6353 3671 7297 2383 5507 263 4759 4519 2347 7433 359 4259 311 4463 1907 3779 6737 503 3433 4007 823 373 5869 3331 2999 5059 2179 4871 3947
4889 811 1621 3217 1571 983 2111 3361 7 4099 883 4793 7043 6607 137 1847 7559 3917 4283 2267 4649 3061 2963 73 4813 4423 2887 6991 6961 5839 4643
7351 6469 4799 3889 4201 4513 2377 5233 1091 3023 1459 6833 5261 1523 7307 1117 509 4217 2729 2237 3389 5477 6793 1549 4139 479 3449 2791 3691 467 947
6073 1699 6841 7013 19 491 2797 79 3583 2131 7477 389 5693 6473 7129 7211 1481 647 1051 2971 3461 1759 6067 1087 2297 47 6301 5419 5113 6397 113
1327 643 3541 719 211 3001 4327 1181 1889 1303 5 6311 3847 6257 3463 3637 4079 599 613 31 6619 5431 7591 7331 1993 7583 4229 6917 5347 3631 5653
1609 929 569 3967 5569 6299 3767 953 7243 2927 6367 3617 1709 3803 1013 6547 347 293 4639 5479 1997 5903 6899 229 3851 367 4019 5303 349 6217 6529
5237 3613 3019 5167 757 6827 4937 661 2459 7369 6691 2711 3539 5227 4987 379 1931 5531 3067 797 257 2273 6763 2339 2221 3877 6203 1693 4507 1103 3167
2309 3209 131 2687 2293 587 3359 4957 673 6581 4967 7127 3391 2243 5527 5323 2741 6863 2731 6089 1439 4651 3511 1373 4483 4603 3499 3307 3853 13 4789
6271 1873 3911 3547 3343 449 1597 4231 6229 1553 1489 5387 6163 2897 6949 1583 2753 1607 3673 3271 7393 1627 3109 733 7121 3049 6571 653 2861 1217 6199
3821 2579 7057 5279 1367 773 3259 5939 3257 151 1811 1861 7517 4933 2069 863 313 2939 2621 3467 457 7001 6121 439 4153 6869 5209 1951 4523 4001 6709
4679 2657 3037 3719 383 283 139 6011 2591 4691 571 3529 1567 2803 7187 3137 2609 5153 907 6701 6047 41 5581 6449 5021 4903 3407 3469 3011 1999 7027
2251 4657 5783 433 7213 3191 1663 5779 6803 2551 2351 7411 4273 227 5413 829 5521 2801 1279 5801 2417 3607 499 6043 2017 6277 67 4457 2203 4093 1399
5843 6247 1231 2917 3251 4621 251 6781 4831 5743 6653 743 6719 2543 1319 1783 967 6143 2447 1171 199 4567 547 7103 71 2011 2129 6569 5107 4219 4583
3727 3931 6343 6427 4289 4441 4481 4733 7507 1511 3119 1009 991 1123 7523 4591 7177 7529 3169 109 2819 911 4451 1283 1433 3623 2467 1877 463 4721 1531
6659 5647 5591 1063 6151 6911 3833 6361 6131 2789 787 337 5297 1163 6871 5669 2557 1223 2879 5557 2473 1307 149 2663 3923 3761 1061 2029 4073 4297 97
6761 1277 5399 6883 7039 761 2833 7207 1109 2683 2311 6997 173 3079 1031 1723 7159 2633 563 2713 5689 1097 2767 1361 4241 5897 11 6857 6329 233 4493
1669 5651 179 4547 5471 2969 2837 4637 2437 5087 2903 4999 6359 1823 59 7253 659 2081 1129 3041 4027 6337 1733 5821 2617 6779 5851 3221 1499 5147 487
1787 5039 2137 6599 2411 4177 4951 127 2089 3347 5827 3593 1483 5857 3229 3371 1301 4801 6977 4349 5051 2647 4091 1237 683 4561 3793 1867 1579 5417 4931
1789 2549 2063 1973 2281 7151 2357 5171 1613 5683 1913 1753 223 7489 5791 2693 6211 2381 1487 1777 881 2143 919 6907 3203 1801 6379 3697 5273 6679 7079
37 1559 2371 4877 3739 103 607 2207 4157 809 6673 1193 523 6197 5987 6389 4357 4243 5641 5009 6551 1427 6947 5381 5443 401 6317 2953 2389 3533 1289
431 6791 7247 3253 521 4447 5011 6133 6823 1291 5333 3557 827 3089 3121 3863 5179 2341 4339 419 7349 4943 2531 2287 1039 2153 23 4021 2707 1021 7219
6007 593 2957 5881 769 1153 6521 101 2161 4057 6373 1423 6637 409 3457 3163 43 5441 5861 1697 4783 5231 4391 3413 7487 4133 353 2843 7229 4051 691
5351 5867 1619 1949 5737 5717 4549 4127 2909 1453 3677 1933 157 1601 4969 541 3823 6113 4421 197 2777 4049 5927 7499 2677 5563 5189 2477 4271 1229 941
5309 3701 5749 6733 4723 5483 6577 1493 4663 3329 4397 2393 3881 4919 701 5119 3929 3769 5981 5081 307 1831 2039 2333 1019 331 1093 7019 1213 4003 191
751 3527 6983 167 2719 617 7417 3643 53 2141 7459 6037 269 2053 1259 7309 6971 5623 5659 7333 1451 2503 6563 3919 631 5099 4909 277 1987 1321 2659
4817 5449 937 2749 6269 4751 7283 1151 2671 6959 1667 1871 3301 601 2423 29 6689 4129 1657 5519 5657 4253 239 6451 281 5741 5701 4993 1979 2239 853
2851 4261 1637 739 1429 3083 1721 5393 5923 3659 2521 61 6491 4159 727 3709 1069 3571 577 6481 6553 5437 83 1901 6323 5077 4517 443 7549 5101 6263
2857 6173 3319 1049 1471 7541 2213 1747 4973 887 2699 421 4373 641 877 5407 3989 6079 5879 5501 4211 4337 619 5813 7561 3943 2399 2689 2003 6661 977
5573 1879 181 859 6221 7547 4673 2539 3797 6421 1033 6091 2441 7321 1201 677 7481 317 6101 7451 107 4111 3181 3313 2099 397 2083 6053 2593 971 4597
193 1741 3187 4013 4787 6029 3907 5023 4861 6829 7457 1543 3299 3581 5003 5711 7537 1249 4363 6287 163 271 709 5639 3491 821 997 857 1187 1381 7193
Пока я строила квадраты до порядка 31, Стефано сделал программы для построения магических квадратов порядков 32 – 40. Но я остановлюсь на порядке 31. Предлагаю читателям продолжить построение магических квадратов следующих порядков по программам Стефана, которые выложены на указанном выше форуме. Программы работают просто фантастически, магический квадрат составляется мгновенно. Остаётся только подготовить данные для построения квадрата, то есть вычислить минимальную магическую константу и сформировать массив простых чисел. Это делается очень просто. Тут хочу заметить: вполне возможно, что я где-то ошиблась в подготовке данных или не заметила другие варианты массивов. Я выполняю подготовку данных наполовину вручную (простым подбором); автоматизирована у меня только часть этой процедуры: определение массива из n2 первых простых чисел и вычисление минимально возможной магической константы. Фактическую магическую константу я определяю вручную. Так что, минимальные магические константы представленных здесь наименьших магических квадратов (начиная с порядка 16) требуют тщательной проверки.
ПОСТРОЕНИЕ НАИМЕНЬШИХ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ ИЗ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ И ЧИСЛА 1
А теперь расскажу о другой последовательности в OEIS – А073502. Это последовательность магических констант наименьших магических квадратов, составленных из простых чисел и числа 1. Я уже говорила в предыдущих частях статьи о таких квадратах и приводила несколько примеров. В книге Ю. В. Чебракова «Теория магических матриц» приведены подобные магические квадраты до порядка 11 включительно. Квадрат порядка 12 в этой серии магических квадратов – это знаменитый квадрат Дж. Н. Манси.
Последовательность А073502 на сегодня имеет следующий вид:
111, 102, 213, 408, 699, 1114, 1681, 2416, 3355, 4514, 5937, 7626
Квадрат 3-го порядка с магической константой 111 – это знаменитый квадрат Дьюдени. Квадрат 4-го порядка с магической константой 102, кажется, принадлежит Джонсону. Квадрат 12-го порядка с магической константой 4514, как я уже сказала, – знаменитый квадрат Манси. Квадрат 11-го порядка с магической константой 3355, кажется, тоже построил Манси. Квадраты 13-го и 14-го порядков построены мной.
Квадраты порядков 3 – 7 были показаны в предыдущих частях статьи. Теперь покажу классические квадраты 11-го и 12-го порядков (рис. 7 – 8).
1 |
613 |
3 |
587 |
61 |
631 |
107 |
643 |
19 |
653 |
37 |
607 |
73 |
71 |
223 |
619 |
59 |
569 |
47 |
503 |
43 |
541 |
461 |
467 |
83 |
347 |
137 |
499 |
53 |
509 |
149 |
127 |
523 |
457 |
181 |
593 |
173 |
179 |
167 |
491 |
157 |
409 |
151 |
397 |
211 |
353 |
197 |
487 |
227 |
431 |
239 |
419 |
271 |
269 |
251 |
331 |
199 |
337 |
307 |
283 |
293 |
421 |
277 |
389 |
379 |
139 |
317 |
463 |
443 |
67 |
349 |
229 |
373 |
233 |
257 |
241 |
383 |
193 |
313 |
311 |
439 |
433 |
359 |
163 |
367 |
113 |
401 |
263 |
97 |
89 |
449 |
617 |
479 |
103 |
281 |
31 |
557 |
521 |
131 |
79 |
599 |
191 |
101 |
11 |
571 |
17 |
563 |
647 |
547 |
29 |
601 |
5 |
677 |
7 |
577 |
13 |
641 |
109 |
41 |
23 |
661 |
Рис. 7
Квадрат Дж. Н. Манси
1 |
823 |
821 |
809 |
811 |
797 |
19 |
29 |
313 |
31 |
23 |
37 |
89 |
83 |
211 |
79 |
641 |
631 |
619 |
709 |
617 |
53 |
43 |
739 |
97 |
227 |
103 |
107 |
193 |
557 |
719 |
727 |
607 |
139 |
757 |
281 |
223 |
653 |
499 |
197 |
109 |
113 |
563 |
479 |
173 |
761 |
587 |
157 |
367 |
379 |
521 |
383 |
241 |
467 |
257 |
263 |
269 |
167 |
601 |
599 |
349 |
359 |
353 |
647 |
389 |
331 |
317 |
311 |
409 |
307 |
293 |
449 |
503 |
523 |
233 |
337 |
547 |
397 |
421 |
17 |
401 |
271 |
431 |
433 |
229 |
491 |
373 |
487 |
461 |
251 |
443 |
463 |
137 |
439 |
457 |
283 |
509 |
199 |
73 |
541 |
347 |
191 |
181 |
569 |
577 |
571 |
163 |
593 |
661 |
101 |
643 |
239 |
691 |
701 |
127 |
131 |
179 |
613 |
277 |
151 |
659 |
673 |
677 |
683 |
71 |
67 |
61 |
47 |
59 |
743 |
733 |
41 |
827 |
3 |
7 |
5 |
13 |
11 |
787 |
769 |
773 |
419 |
149 |
751 |
Рис. 8
На рис. 9 – 10 вы видите мои варианты квадратов 11-го и 12-го порядков.
1 |
29 |
103 |
107 |
191 |
271 |
431 |
487 |
509 |
619 |
607 |
47 |
577 |
41 |
277 |
643 |
163 |
131 |
521 |
5 |
571 |
379 |
157 |
149 |
569 |
283 |
397 |
263 |
661 |
223 |
229 |
23 |
401 |
257 |
353 |
139 |
547 |
37 |
461 |
331 |
251 |
587 |
349 |
43 |
307 |
89 |
457 |
71 |
439 |
463 |
11 |
359 |
337 |
641 |
181 |
433 |
409 |
647 |
631 |
151 |
7 |
523 |
83 |
199 |
3 |
269 |
383 |
113 |
109 |
557 |
503 |
601 |
73 |
449 |
313 |
193 |
61 |
677 |
617 |
227 |
67 |
137 |
317 |
367 |
179 |
421 |
53 |
293 |
613 |
347 |
443 |
479 |
31 |
419 |
311 |
101 |
197 |
173 |
241 |
467 |
653 |
541 |
239 |
593 |
17 |
127 |
211 |
59 |
167 |
281 |
13 |
19 |
79 |
97 |
233 |
373 |
389 |
491 |
499 |
563 |
599 |
Рис. 9
Вариант квадрата Дж. Н. Манси
1 |
19 |
61 |
193 |
347 |
409 |
449 |
457 |
509 |
599 |
709 |
761 |
479 |
619 |
89 |
809 |
331 |
131 |
311 |
571 |
557 |
107 |
43 |
467 |
443 |
199 |
523 |
349 |
197 |
79 |
613 |
727 |
167 |
109 |
281 |
827 |
743 |
461 |
223 |
179 |
503 |
29 |
269 |
577 |
373 |
419 |
5 |
733 |
233 |
773 |
661 |
37 |
547 |
647 |
3 |
563 |
67 |
587 |
283 |
113 |
787 |
17 |
73 |
239 |
607 |
659 |
397 |
389 |
313 |
463 |
149 |
421 |
631 |
383 |
431 |
757 |
241 |
263 |
257 |
569 |
97 |
307 |
367 |
211 |
797 |
401 |
499 |
277 |
643 |
439 |
7 |
23 |
719 |
191 |
379 |
139 |
13 |
541 |
521 |
691 |
601 |
683 |
673 |
163 |
103 |
317 |
71 |
137 |
293 |
181 |
173 |
31 |
59 |
227 |
677 |
53 |
739 |
811 |
653 |
617 |
83 |
487 |
769 |
359 |
337 |
127 |
701 |
271 |
229 |
353 |
751 |
47 |
11 |
433 |
491 |
593 |
101 |
821 |
157 |
151 |
641 |
251 |
823 |
41 |
Рис. 10
Далее следуют подобные квадраты порядков 13 и 14, которые были построены мной.
Для построения квадрата порядка 13 берётся следующий массив чисел: 1, 3, …, 997, 1009. Вариантов замены чисел я нашла здесь шесть. Магическая константа квадрата во всех случаях равна 5937. Вот варианты формирования массива:
1. заменить число 977 на 1013 и число 1009 на 1019;
2. заменить число 991 на 1021 и число 997 на 1013;
3. заменить число 991 на 1033 и число 1009 на 1013;
4. заменить число 997 на 1031 и число 1009 на 1021;
5. заменить число 997 на 1019 и число 1009 на 1033;
6. заменить число 997 на 1039 и число 1009 на 1013.
Понятно, что из каждого варианта массива будут получаться оригинальные магические квадраты.
Для первого варианта массива сгенерирован такой набор из 13 строк:
1 43 61 73 113 421 431 439 701 881 887 919 967
109 809 691 461 19 487 751 3 929 23 997 467 191
79 281 941 479 31 179 401 659 599 757 379 491 661
419 307 149 283 311 167 719 991 541 829 983 227 11
971 229 59 7 137 13 883 743 733 577 709 17 859
353 457 593 821 193 277 151 787 569 827 631 211 67
773 449 727 29 643 613 839 269 5 83 641 367 499
47 947 739 647 71 181 857 337 157 863 797 97 197
331 443 557 313 811 463 853 769 523 53 521 101 199
257 41 953 503 587 103 263 677 127 1019 673 163 571
293 601 389 317 907 131 409 509 563 349 937 359 173
251 683 107 241 233 607 239 547 653 397 1013 619 347
37 89 139 223 271 373 383 433 617 761 823 877 911
Квадрат из данного набора получен такой (рис. 11):
Квадрат № 1
1 |
43 |
61 |
73 |
113 |
421 |
431 |
439 |
701 |
881 |
887 |
919 |
967 |
109 |
809 |
691 |
461 |
19 |
487 |
751 |
3 |
929 |
23 |
997 |
467 |
191 |
353 |
457 |
593 |
821 |
193 |
277 |
151 |
787 |
569 |
827 |
211 |
67 |
631 |
47 |
947 |
739 |
647 |
857 |
71 |
181 |
337 |
157 |
797 |
197 |
863 |
97 |
331 |
443 |
557 |
313 |
853 |
463 |
811 |
769 |
523 |
53 |
101 |
521 |
199 |
953 |
257 |
41 |
1019 |
503 |
587 |
103 |
263 |
677 |
127 |
163 |
673 |
571 |
79 |
281 |
941 |
479 |
31 |
179 |
401 |
659 |
599 |
757 |
379 |
661 |
491 |
773 |
449 |
727 |
29 |
643 |
839 |
613 |
269 |
5 |
83 |
367 |
499 |
641 |
419 |
307 |
149 |
283 |
311 |
167 |
719 |
991 |
541 |
829 |
983 |
11 |
227 |
971 |
229 |
59 |
7 |
137 |
13 |
883 |
743 |
733 |
577 |
709 |
17 |
859 |
601 |
563 |
293 |
409 |
907 |
937 |
389 |
349 |
359 |
509 |
173 |
131 |
317 |
683 |
241 |
653 |
1013 |
547 |
619 |
233 |
239 |
107 |
251 |
397 |
347 |
607 |
617 |
911 |
433 |
383 |
823 |
877 |
271 |
89 |
37 |
223 |
373 |
761 |
139 |
Рис. 11
Для второго варианта массива сгенерирован такой набор из 13 строк:
1 31 61 149 173 197 509 643 653 701 911 941 967
859 887 199 211 641 79 977 283 71 13 883 829 5
787 227 827 601 419 179 317 41 277 401 421 683 757
89 37 521 1013 557 101 523 439 743 733 461 479 241
863 577 139 467 7 1009 457 839 307 349 11 599 313
853 983 797 659 19 409 167 331 383 137 23 353 823
367 607 269 43 947 263 3 631 719 673 881 47 487
163 1021 431 53 73 491 937 29 761 929 503 113 433
919 109 587 463 547 193 499 593 257 739 773 131 127
59 239 569 311 97 953 907 157 971 389 769 449 67
293 563 709 379 877 337 103 373 191 359 271 661 821
617 17 251 281 233 571 647 691 751 809 397 443 229
83 107 151 181 223 347 541 613 619 677 727 811 857
Из данного набора построился такой магический квадрат (рис. 12):
Квадрат № 2
1 |
31 |
61 |
149 |
173 |
197 |
509 |
643 |
653 |
701 |
911 |
941 |
967 |
859 |
887 |
199 |
211 |
641 |
79 |
977 |
283 |
71 |
13 |
883 |
829 |
5 |
89 |
37 |
521 |
1013 |
557 |
101 |
523 |
439 |
743 |
733 |
461 |
241 |
479 |
853 |
983 |
797 |
659 |
19 |
409 |
167 |
331 |
383 |
137 |
23 |
353 |
823 |
919 |
109 |
587 |
463 |
547 |
193 |
499 |
593 |
257 |
739 |
773 |
131 |
127 |
163 |
1021 |
431 |
53 |
73 |
937 |
491 |
29 |
761 |
929 |
503 |
113 |
433 |
59 |
239 |
569 |
311 |
907 |
953 |
157 |
769 |
449 |
67 |
97 |
971 |
389 |
787 |
227 |
827 |
601 |
419 |
179 |
317 |
41 |
277 |
401 |
421 |
683 |
757 |
367 |
607 |
269 |
43 |
947 |
263 |
3 |
631 |
719 |
673 |
881 |
47 |
487 |
863 |
577 |
139 |
467 |
7 |
1009 |
457 |
839 |
11 |
599 |
349 |
313 |
307 |
563 |
379 |
709 |
359 |
877 |
293 |
821 |
661 |
191 |
103 |
271 |
337 |
373 |
233 |
617 |
17 |
751 |
229 |
647 |
397 |
571 |
809 |
691 |
281 |
251 |
443 |
181 |
223 |
811 |
857 |
541 |
677 |
619 |
107 |
613 |
151 |
83 |
727 |
347 |
Рис. 12
Предлагаю читателям построить магические квадраты для остальных четырёх вариантов массива чисел.
Примечание: я построила магические квадраты для остальных четырёх вариантов массива по программе Стефана. По его программе квадраты строятся очень быстро. Показываю результаты.
Квадрат № 3
ORDER=13 MAGIC=5937
163 491 881 823 659 883 7 151 673 509 1 97 599
857 257 617 607 859 41 947 61 103 83 503 853 149
613 317 467 601 31 977 743 479 383 457 281 101 487
421 37 521 727 277 389 953 419 269 569 367 47 941
347 17 3 439 907 67 73 821 359 1033 233 997 641
967 773 263 919 443 179 127 863 167 59 379 557 241
877 157 449 5 463 311 373 647 401 29 971 593 661
19 887 523 173 787 619 71 829 563 643 109 701 13
331 1013 107 199 23 433 911 139 397 709 677 691 307
239 89 353 431 113 337 809 131 929 653 827 733 293
739 811 283 191 797 571 683 461 181 223 197 43 757
227 547 839 769 79 193 229 587 751 251 983 211 271
137 541 631 53 499 937 11 349 761 719 409 313 577
Квадрат № 4
ORDER=13 MAGIC=5937
479 89 211 503 631 941 397 571 857 653 5 233 367
673 3 599 509 163 863 199 467 811 109 293 311 937
919 271 607 173 523 227 461 101 839 823 317 617 59
19 593 499 701 359 263 383 487 797 821 727 277 11
347 563 929 967 619 577 257 47 349 787 353 113 29
1 859 41 71 269 751 827 887 7 239 953 463 569
907 977 179 17 683 691 107 43 73 149 439 1031 641
53 67 251 419 991 223 661 881 401 541 853 283 313
883 241 409 197 23 613 167 1021 373 103 773 983 151
193 307 181 911 457 97 761 719 829 37 449 337 659
431 809 421 139 83 547 739 79 137 769 127 947 709
389 557 877 587 757 13 647 443 31 677 157 281 521
643 601 733 743 379 131 331 191 433 229 491 61 971
Квадрат № 5
ORDER=13 MAGIC=5937
673 569 277 47 563 631 593 443 113 1019 463 229 317
499 991 691 107 313 173 139 857 211 521 797 457 181
199 449 431 241 983 761 461 349 659 23 409 701 271
661 773 919 17 619 383 239 149 439 937 397 73 331
359 157 347 947 787 547 89 293 11 83 811 829 677
7 71 641 821 19 587 97 883 179 809 617 353 853
887 643 191 491 311 223 41 653 131 167 839 389 971
911 5 953 29 103 109 929 577 1033 557 227 503 1
401 307 379 863 967 683 127 3 613 283 31 571 709
373 269 37 719 197 859 907 257 727 193 67 509 823
151 419 487 523 61 53 739 337 941 137 733 877 479
757 541 163 881 751 101 599 367 647 607 467 13 43
59 743 421 251 263 827 977 769 233 601 79 433 281
Квадрат № 6
ORDER=13 MAGIC=5937
947 373 593 643 491 167 211 269 197 37 283 983 743
13 467 691 739 433 367 173 971 149 587 307 379 661
751 163 31 241 911 541 733 881 1039 97 1 487 61
941 17 223 659 41 11 863 359 977 797 389 7 653
311 263 331 53 631 499 461 59 773 919 457 479 701
257 521 827 43 887 811 227 337 421 47 719 607 233
313 113 317 557 569 937 409 101 383 823 683 439 293
617 727 883 907 157 127 3 503 523 191 443 179 677
353 1013 5 83 673 397 857 641 419 109 967 347 73
953 79 619 139 71 281 769 29 193 709 577 757 761
277 563 431 809 89 599 859 547 103 821 151 239 449
67 991 787 463 107 929 349 839 251 229 131 181 613
137 647 199 601 877 271 23 401 509 571 829 853 19
Обратите внимание: квадраты, построенные по программе Стефано, начинаются с произвольного числа, а построенные по моей программе квадраты начинаются с числа 1 (так у меня составлена программа).
***
Теперь покажу построение подобного магического квадрата 14-го порядка. Берётся следующий массив, состоящий из простых чисел и числа 1: 1, 3, …, 1187, 1193, но заменить число 1181 на 1213. Магическая константа равна 7626.
Сгенерированный набор из 14 строк:
1 97 157 227 359 409 431 523 577 593 1009 1021 1051 1171
881 347 773 353 491 197 367 787 631 827 647 7 1049 269
683 521 13 211 673 127 443 89 1117 509 769 929 883 659
857 337 821 937 971 61 311 569 1153 113 23 257 263 953
947 107 307 59 877 1091 17 1093 397 461 67 373 967 863
641 83 131 619 829 19 317 1151 241 433 811 853 389 1109
941 499 859 421 31 439 1103 103 743 677 563 239 757 251
607 271 5 193 281 1039 479 1129 109 47 983 911 1193 379
1097 661 73 701 997 587 401 277 919 727 233 751 149 53
907 79 541 151 1213 503 3 449 991 139 797 1013 617 223
199 101 1031 487 599 571 181 823 709 349 163 1063 887 463
283 43 733 719 229 293 467 1019 173 37 1033 1187 601 809
137 331 839 419 1123 761 383 691 1163 41 191 1061 457 29
11 71 167 179 313 547 557 613 643 653 739 977 1069 1087
На рис. 13 показан магический квадрат, полученный из данного набора:
1 |
97 |
157 |
227 |
359 |
409 |
431 |
523 |
577 |
593 |
1009 |
1021 |
1051 |
1171 |
857 |
337 |
821 |
937 |
971 |
61 |
311 |
569 |
1153 |
113 |
23 |
257 |
953 |
263 |
941 |
499 |
859 |
421 |
31 |
439 |
1103 |
103 |
743 |
563 |
677 |
251 |
239 |
757 |
641 |
83 |
131 |
619 |
829 |
19 |
317 |
1151 |
241 |
433 |
811 |
853 |
389 |
1109 |
947 |
107 |
307 |
59 |
877 |
1091 |
17 |
1093 |
397 |
461 |
373 |
67 |
967 |
863 |
607 |
271 |
5 |
193 |
281 |
1039 |
479 |
1129 |
109 |
47 |
983 |
911 |
379 |
1193 |
881 |
347 |
773 |
353 |
491 |
197 |
367 |
787 |
631 |
827 |
647 |
7 |
1049 |
269 |
1097 |
661 |
73 |
701 |
997 |
587 |
401 |
277 |
919 |
727 |
233 |
751 |
149 |
53 |
683 |
521 |
13 |
211 |
673 |
127 |
443 |
89 |
1117 |
509 |
769 |
929 |
883 |
659 |
79 |
907 |
541 |
1213 |
151 |
503 |
991 |
449 |
139 |
797 |
223 |
1013 |
3 |
617 |
101 |
1031 |
887 |
199 |
487 |
823 |
599 |
349 |
571 |
463 |
1063 |
709 |
163 |
181 |
43 |
1187 |
809 |
733 |
601 |
293 |
1033 |
37 |
467 |
1019 |
229 |
173 |
719 |
283 |
191 |
839 |
1163 |
691 |
331 |
1061 |
1123 |
457 |
383 |
761 |
419 |
41 |
29 |
137 |
557 |
739 |
1087 |
1069 |
547 |
977 |
11 |
613 |
179 |
313 |
167 |
643 |
653 |
71 |
Рис. 13
На магической константе представленного квадрата 14-го порядка на сегодня заканчивается последовательность А073502. Приведу ссылку на эту последовательность:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A073502
Квадрат 15-го порядка в данной серии квадратов в точности подобен квадрату Дж. Н. Манси, то есть он составлен из последовательных нечётных простых чисел и числа 1. Этот квадрат уже давно построил Stefano Tognon. Магическая константа этого квадрата равна 9635. Копирую квадрат с сайта S. Tognon (рис. 14):
http://digilander.libero.it/ice00/magic/prime/ManualConstruction.html
1087 |
953 |
1093 |
167 |
499 |
97 |
829 |
1237 |
79 |
73 |
809 |
967 |
787 |
911 |
47 |
463 |
461 |
457 |
491 |
691 |
503 |
89 |
163 |
23 |
1019 |
1223 |
1399 |
937 |
523 |
1193 |
1 |
1301 |
307 |
1163 |
1319 |
1259 |
17 |
19 |
877 |
29 |
547 |
181 |
1187 |
1217 |
211 |
661 |
1063 |
271 |
887 |
263 |
317 |
331 |
1361 |
239 |
173 |
389 |
1097 |
1213 |
199 |
1171 |
1069 |
673 |
677 |
311 |
313 |
257 |
251 |
337 |
1367 |
419 |
1013 |
373 |
397 |
769 |
1409 |
659 |
293 |
647 |
643 |
641 |
439 |
709 |
617 |
613 |
607 |
601 |
1201 |
593 |
599 |
773 |
1021 |
3 |
883 |
103 |
839 |
631 |
1117 |
823 |
283 |
1151 |
149 |
577 |
41 |
1427 |
587 |
127 |
653 |
1303 |
7 |
1277 |
1321 |
157 |
719 |
727 |
1229 |
947 |
227 |
61 |
743 |
137 |
139 |
859 |
5 |
421 |
101 |
701 |
433 |
521 |
449 |
941 |
1381 |
991 |
751 |
1181 |
761 |
1297 |
131 |
1283 |
1307 |
179 |
151 |
1373 |
241 |
347 |
1327 |
71 |
59 |
1423 |
67 |
379 |
1291 |
1091 |
487 |
269 |
1049 |
1109 |
1033 |
431 |
881 |
349 |
229 |
409 |
223 |
401 |
383 |
113 |
109 |
1061 |
1279 |
1103 |
1039 |
509 |
929 |
569 |
733 |
1153 |
757 |
191 |
37 |
53 |
281 |
1289 |
107 |
1051 |
11 |
13 |
919 |
1031 |
1129 |
541 |
353 |
557 |
367 |
1009 |
977 |
563 |
277 |
857 |
853 |
443 |
971 |
1249 |
1123 |
1231 |
233 |
31 |
43 |
997 |
193 |
571 |
863 |
479 |
197 |
683 |
907 |
827 |
619 |
83 |
821 |
811 |
739 |
797 |
467 |
359 |
983 |
Рис. 14
Магический квадрат 16-го порядка из этой серии квадратов построил тоже S. Tognon, но данные для построения этого квадрата вычислены мной. Так что этот квадрат – результат нашего совместного творчества. Для построения этого квадрата берётся следующий массив, состоящий из простых чисел и числа 1: 1, 3, …, 1613, 1619, но заменить число 1607 на 1627 и число 1619 на 1621. Магическая константа квадрата равна 11986.
691 |
1039 |
61 |
593 |
659 |
1307 |
227 |
599 |
1163 |
457 |
1013 |
823 |
1283 |
1223 |
541 |
307 |
1289 |
1153 |
1621 |
1301 |
1279 |
1217 |
31 |
491 |
257 |
373 |
571 |
1049 |
233 |
499 |
449 |
173 |
1429 |
1499 |
1367 |
293 |
73 |
193 |
601 |
1523 |
829 |
797 |
677 |
11 |
269 |
1063 |
41 |
1321 |
1151 |
523 |
439 |
1571 |
433 |
911 |
1481 |
653 |
1061 |
739 |
23 |
991 |
239 |
421 |
1087 |
263 |
229 |
827 |
71 |
883 |
1483 |
127 |
967 |
5 |
1129 |
1229 |
283 |
1291 |
1103 |
1453 |
137 |
769 |
839 |
1493 |
1559 |
461 |
1381 |
311 |
107 |
811 |
197 |
1549 |
1399 |
79 |
1123 |
281 |
7 |
389 |
877 |
1019 |
673 |
1583 |
367 |
251 |
941 |
1091 |
971 |
881 |
167 |
19 |
997 |
853 |
809 |
487 |
719 |
727 |
103 |
431 |
859 |
613 |
1531 |
757 |
211 |
1171 |
1423 |
977 |
181 |
1181 |
701 |
401 |
953 |
317 |
1 |
113 |
1187 |
47 |
919 |
929 |
521 |
349 |
1553 |
1471 |
1021 |
1609 |
409 |
587 |
857 |
563 |
1627 |
1213 |
751 |
907 |
547 |
1097 |
1579 |
83 |
947 |
101 |
59 |
179 |
1409 |
67 |
3 |
383 |
1439 |
353 |
1231 |
1031 |
1459 |
479 |
43 |
683 |
503 |
1451 |
863 |
151 |
313 |
1601 |
821 |
37 |
647 |
661 |
191 |
1297 |
359 |
787 |
13 |
1613 |
157 |
241 |
1543 |
733 |
1319 |
1567 |
163 |
1487 |
139 |
569 |
17 |
1361 |
463 |
617 |
1433 |
1069 |
1033 |
1051 |
53 |
149 |
1373 |
1009 |
271 |
631 |
1193 |
1277 |
29 |
887 |
1489 |
331 |
773 |
419 |
509 |
1093 |
983 |
467 |
1237 |
397 |
97 |
89 |
109 |
347 |
743 |
1249 |
641 |
1259 |
1427 |
131 |
1109 |
761 |
1327 |
607 |
643 |
1447 |
1597 |
199 |
937 |
337 |
1303 |
277 |
223 |
557 |
379 |
443 |
619 |
577 |
709 |
1117 |
1511 |
1201 |
Рис. 15
Квадрат 17-го порядка опять в точности подобен квадрату Манси и тоже построен Стефаном. Магическая константа квадрата равна 14691. Копирую квадрат с сайта S. Tognon (ссылка дана выше). Копию квадрата вы видите на рис. 16.
1 |
43 |
5 |
7 |
1721 |
1709 |
379 |