Н. Макарова

 

НАИМЕНЬШИЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ИЗ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

 

Часть III

 

 

Данная страница является продолжением страниц:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/sqmin1.htm

http://www.natalimak1.narod.ru/sqmin2.htm

 

 

В предыдущих частях статьи было рассказано о наименьших магических квадратах из простых чисел двух видов: а) магические квадраты составляются из простых чисел в классическом определении (без использования числа 1); б) магические квадраты составляются из простых чисел и числа 1. Первому виду магических квадратов в OEIS соответствует последовательность А164843, второму виду магических квадратов соответствует последовательность А073502. В последовательности А073502 есть интересная подпоследовательность: это магические константы квадратов в точности подобных знаменитому квадрату Дж. Н. Манси. Эти квадраты составлены из числа 1 и следующих последовательных нечётных простых чисел.  По-моему, надо выделить данную подпоследовательность в самостоятельную последовательность. Покажу её здесь (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

Стефано прислал мне в письме ссылки на эти квадраты. Вот цитата из его письма:

 

"Maybe I had already found the Muncey square you are looking for:
12,15,17,22:

http://digilander.libero.it/ice00/magic/prime/AutomaticConstruction.html  

35: http://digilander.libero.it/ice00/magic/prime/Order35.html
124: http://digilander.libero.it/ice00/magic/prime/Order124.html

The latest had need some manual work, but all the others are from”.

 

Интереснейшие результаты! Особенно впечатляет квадрат 124-го порядка. Квадрат 191-го порядка он пока не построил. Предлагаю читателям построить квадрат 191-го порядка, а также продолжить данную серию квадратов. Думаю, что подобные магические квадраты есть и  для n > 191. Но построить их будет непросто.

 

Примечание: на форуме dxdy.ru определены квадраты порядков больше 191 в данной серии квадратов, вычислены их магические константы, указано последнее число массива для каждого квадрата.

 

А теперь расскажу о третьем виде наименьших магических квадратов из простых чисел. Эти квадраты составляются из последовательных простых чисел (в классическом определении). Таким квадратам соответствует последовательность А073520 в OEIS. И главным конструктором подобных квадратов является Стефано. Я узнала об этой последовательности на форуме dxdy.ru ещё до знакомства со Стефаном. Участник форума рассказал об этой последовательности, сообщил, что в ней известны только константы квадратов до порядка 6 включительно, и сформулировал задачу построения подобных квадратов, начиная с порядка 7. Я сразу принялась за решение этой задачи и построила подобные квадраты порядков 7 – 15. При этом вспомнила, что о подобном квадрате 9-го порядка раньше сообщали на форуме, и я тогда скопировала ссылку. Сообщила об этом на форуме, участник, рассказавший об этой последовательности, по этой ссылке вышел на сайт Стефана и увидел, что построение подобных квадратов – это тема, которой Стефано давно занимается, и у него есть много результатов. Так я и познакомилась со Стефаном. В настоящее время Стефано продолжает работу над построением магических квадратов данной серии.

Ссылка на последовательность А073520:

 

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A073520

 

Сначала приведу таблицу результатов по данным OEIS на сегодняшний день (рис. 2).

 

 

Рис. 2

 

Примечание: для квадрата 3-го порядка не приведены данные, так как числа в этом квадрате очень большие, смотрите эти данные в OEIS.

 

На сегодня Стефано построил квадраты, кажется, уже до порядка 46 включительно. Скоро новые результаты Стефано должны появиться в OEIS.

 

Теперь покажу свои авторские квадраты в этой серии квадратов, это квадраты порядков 12, 14 и 15. Эти квадраты я построила по своим программам (ещё до знакомства со Стефаном). Покажу также наборы строк, из которых магические квадраты были получены.

 

n = 12          массив чисел 89, 97, …, 983, 991       магическая константа 6188.

Это набор из 12 строк, сгенерированный программой:

 

89  101  347  349  373  479  487  607  787  823  863  883 

701  599  661  653  647  751  419  137  97  311  383  829

            811  983  839  547  233  967  293  199  163  643  317  193

            331  709  761  809  947  691  113  683  421  229  367  127

            157  659  499  773  991  227  907  109  719  307  673  167

            439  509  359  587  877  919  677  563  251  461  263  283

 641  577  853  191  239  521  353  409  859  149  443  953

 619  739  179  743  433  971  491  151  401  463  601  397

            797  571  881  977  107  277  223  827  617  173  557  181

            337  821  131  379  727  269  613  467  541  857  313  733

            937  139  103  503  941  523  887  929  457  257  271  241

            197  211  281  389  431  449  569  593  631  757  769  911

 

На рис. 3 вы видите магический квадрат, полученный из данного набора строк.

 

 

 

Рис. 3

 

n = 14          массив чисел 89, 97, …, 1361, 1367   магическая константа 9660.

Это набор из 14 строк, сгенерированный программой:

 

89  97  193  227  241  521  563  683  911  1063  1231  1237  1283  1321 

277  1091  1181  431  1153  757  739  937  941  433  1019  113  139  449

 659  727  557  691  1327  401  983  179  1151  331  761  1117  157  619

 1301  439  1249  419  109  1279  1123  569  383  907  653  251  337  641

            1223  461  541  1259  149  1163  743  719  359  479  163  647  463  1291

            617  977  167  643  127  709  773  509  577  811  997  971  421  1361

            229  991  607  389  257  859  1171  1213  547  1033  1319  263  631  151

            311  883  601  239  1289  269  307  967  491  829  211  857  1297  1109

            1097  809  1061  1129  823  487  523  587  443  733  199  853  599  317

 701  283  197  137  827  503  1069  1187  1087  1009  499  1051  877  233

            1229  191  181  571  863  367  887  1307  281  1277  1013  379  821  293

            947  347  769  397  467  929  1303  1039  1031  673  919  173  353  313

 787  103  797  223  1193  593  953  1093  1049  457  1021  881  409  101

            107  131  271  349  373  613  661  677  751  839  1103  1201  1217  1367

 

На рис. 4 показан магический квадрат, полученный из этого набора строк.

 

 

Рис. 4

 

n = 15          массив чисел 131,137, …, 1613, 1619           магическая константа 12669.

Это набор из 15 строк, сгенерированный программой:

 

131  167  229  461  541  617  733  911  967  1091  1259  1279  1319  1471  1493    

211  1291  1499  577  1087  349  947  467  739  613  1171  1609  173  839  1097

            563  139  1373  1459  1289  443  619  1201  1427  809  881  1303  331  569  263

            853  643  701  179  1483  571  769  859  1447  659  929  997  1223  1129  227

            599  953  1213  587  499  727  1321  787  307  1151  157  1571  1033  991  773

            547  907  1583  1613  149  1423  193  1601  941  137  233  1039  1283  631  389

            607  1607  1511  673  1181  1481  1217  523  661  857  223  743  197  757  431

            1019  181  751  163  1453  1301  1297  1277  271  1619  1327  691  277  281  761

            421  311  1487  439  1049  1409  1123  463  409  983  449  1031  1163  1559  373

            503  1367  433  1013  829  1153  317  347  1109  491  1249  677  241  1489  1451

            719  919  359  1063  1307  653  1237  269  1433  863  1439  191  883  313  1021

            1549  887  1061  557  257  367  337  1361  811  601  937  1231  1543  877  293

            647  709  1193  1051  353  479  239  971  1531  1229  977  1093  1399  379  419

            397  827  1069  509  1187  823  1579  283  1567  383  797  683  641  1523  401

            151  199  251  457  487  521  593  821  1009  1103  1117  1381  1429  1553  1597

 

На рис. 5 изображён магический квадрат, полученный из данного набора строк.

 

 

Рис. 5

 

Обратите внимание: построенные мной квадраты начинаются с первого числа массива (то есть это число расположено в левой верхней ячейке квадрата). За редкими исключениями я всегда стараюсь составлять квадраты таким образом, чтобы они начинались с минимального числа. Это характерная особенность моих магических квадратов. Ещё одна особенность: числа в первой строке квадрата следуют в порядке возрастания. Квадраты, построенные по программам Стефана, не обладают такими свойствами. По этим признакам можно отличить мои квадраты от квадратов Стефана.

 

Мне осталось показать подобные квадраты порядков 7 – 11, 13, которые мной тоже построены до знакомства со Стефаном и независимо от него. Хотя приоритет в построении этих квадратов, конечно, принадлежит Стефану. Я не буду показывать для этих квадратов наборы строк, из которых они были получены, покажу только магические квадраты. Смотрите эти квадраты на рис. 6 – 11.

 

 

Рис. 6

 

Примечание: этот квадрат – пример исключения, когда в левой верхней ячейке расположено не минимальное число массива и числа в первой строке следуют не по порядку.

 

 

 

Рис. 7

 

 

Рис. 8

 

 

Рис. 9

 

 

Рис. 10

 

 

Рис. 11

 

Магические квадраты на рис. 7 – 11 начинаются с минимального числа массива и числа в первой строке этих квадратов следуют по порядку. Как я уже говорила, это просто отличительная особенность моих магических квадратов (у меня так составлена программа).

 

Интересным квадратом в этой серии квадратов является квадрат 35-го порядка, он составлен из массива последовательных простых чисел, начинающегося с первого нечётного простого числа – 3. Весь массив: 3, 5, 7, …, 9929, 9931, 9941. Магическая константа такого квадрата равна 163043.

 

Я построила такой магический квадрат по программе Стефана (Стефано тоже построил уже такой квадрат):

 

ORDER=35  MAGIC=163043

 

1901 2003 647  2729 8627 9631 5407 7759 9929 2801 2999 499  5309 673  4651 5227 941  8951 1613 9791 7853 3617 9241 8269 1801 1723 3877 3677 1759 7109 2939 3413 2383 4547 8747

5081 787  4363 2767 5147 2029 619  6793 7573 1153 8087 2011 271  3593 3511 853  9473 9787 2281 7559 7151 157  7949 3217 7577 6779 4231 4987 7411 9413 2221 1889 9887 5927 509 

757  2393 3    1181 3067 6353 3109 163  8009 2137 3041 5483 2777 1667 4451 9463 1619 1493 7523 2113 8699 8933 4051 9539 6733 2069 6883 7537 7541 2753 8527 1429 5623 8233 7691

8387 8419 433  3691 6827 3329 5507 4591 7793 1459 9619 7283 691  6961 5849 3853 571  2647 7127 6521 4019 7699 257  313  2027 2503 7753 2953 2833 2659 4271 3793 3389 7159 9857

7823 7057 239  1747 2243 2663 2381 6569 8147 3121 5281 1013 4583 557  1451 8123 7649 2239 6661 9679 569  4049 8839 7187 6427 5657 907  7477 2741 9283 1229 9127 5669 937  3719

5323 193  59   6899 1021 3709 8243 3833 8609 4421 827  8731 4289 233  5521 7927 8329 3251 8117 3607 37   5651 6469 2687 4409 5189 7687 2731 8111 1187 9371 4513 2837 4091 4931

661  7177 197  9461 2053 8689 2423 8647 631  4691 2711 367  8803 7951 6263 6947 6803 4639 5101 487  9323 8999 5303 719  8863 887  2161 2851 5393 2617 2857 23   8783 5351 4211

2591 9173 9349 1709 3779 7621 8209 3637 1471 6047 503  6737 9281 3457 607  6689 4003 3181 877  1499 5153 331  7757 4129 1063 2081 4153 5059 8221 9587 5237 419  7489 9467 2477

5009 7253 6323 2417 7669 3407 9181 9341 3079 4057 3313 8719 5279 1367 139  8807 9137 9811 3361 9391 3089 109  4549 709  3929 173  3889 2671 6871 4597 547  5171 1249 8167 263 

9649 8849 593  7907 9497 2789 8693 9883 7211 3209 947  1993 6359 8059 1783 1033 8263 149  8539 31   6131 5023 179  11   3463 4673 107  8431 863  181  1811 7393 9151 577  9613

797  4241 7993 743  4993 4073 3541 6551 6299 9239 6977 6211 9293 6451 1609 2129 9521 2131 4079 7561 1481 9551 701  5903 8537 5693 79   4517 3461 1663 9419 2269 587  2927 1823

1031 5851 6421 2309 8543 8623 6337 137  4493 991  4933 9623 3371 3467 8707 6397 7247 3347 9013 1307 6073 53   1597 2971 2213 7309 5    5861 4663 6701 5791 1543 467  9067 6581

1319 1129 839  1201 5743 7297 4253 1093 8089 6761 1213 6203 421  8573 5051 8753 5233 6247 3643 5107 3221 3769 4621 9629 5231 2341 1097 7517 7207 4861 3229 7529 4201 4903 5519

3547 2963 9817 8971 5197 1151 3253 7883 379  6917 349  6089 3631 9157 2087 1193 3191 2549 2083 9479 4643 6113 3923 4243 281  7591 8017 1039 1549 131  4483 9743 6197 7717 7487

7817 2579 3911 3449 6763 3083 9319 1069 761  6959 8287 3931 167  9431 3623 2719 8501 7607 2677 5857 8563 4889 4723 967  5683 739  1091 4463 5653 3797 4391 9767 2543 5387 1877

9257 5477 683  821  4793 4133 7229 6563 3499 401  6833 6997 8821 4217 5639 9007 3917 9851 3559 9719 7039 2351 8923 1733 3169 3257 1399 1637 2819 211  5659 61   6121 1049 6199

1453 6101 8597 2089 7433 8039 2693 7901 6301 7013 2099 9091 1627 5179 4721 4283 2039 3767 7643 89   5471 953  3821 337  1009 8081 4507 4603 8377 5939 4397 4999 1531 7321 3539

229  6007 4919 8363 6163 2347 29   4817 3491 2521 8101 409  19   8941 8191 5879 4799 6133 643  2621 5099 5573 277  4327 8837 353  4679 6277 8677 4157 5953 5039 8093 4481 6599

3023 7121 3581 2957 7933 373  389  6653 3137 9161 4111 6547 4973 3533 983  5783 9739 8317 3203 971  6967 5479 1571 6043 8291 1741 1567 9547 7841 4259 4519 2593 2207 3701 4229

9697 5087 3391 7129 613  3469 7    9721 1559 2357 2251 1061 5821 9439 881  1087 5647 8713 9437 5779 9043 7681 7723 4177 9433 1861 1931 6317 3881 457  6691 3163 5897 359  1283

6991 2267 8963 3659 1301 1553 4021 4787 3259 8069 6949 6659 8273 2683 7069 2699 977  521  7349 6229 199  9907 7019 4139 1949 9311 1433 9277 1601 9833 4457 191  809  7417 1223

1669 9221 8629 7451 2437 4561 5827 811  4649 8179 5119 4027 2143 1237 6673 659  3823 2273 8761 6911 103  3061 1217 8219 7459 3583 7879 8741 2551 5717 9049 1933 3671 463  4337

6857 5441 4733 17   479  5527 7103 1621 4373 6091 6473 727  3803 7369 8443 4093 7583 9733 7877 3037 227  1231 3727 9001 1409 9901 5807 6173 4969 3343 653  5381 3613 3319 2909

6079 7603 8293 8423 2411 1327 443  7079 251  9941 2237 307  8861 4273 2879 4007 4261 2111 2713 5641 3967 7213 829  9769 8297 9109 9397 641  3863 4957 1787 1951 7829 2297 1997

8599 1321 6791 1303 2803 4357 6781 1297 8887 7333 8429 4909 5437 3119 5689 6011 1447 1279 1259 1171 4567 6491 6719 3271 1427 8581 8053 2153 6143 7547 3739 3761 3529 7789 1051

6449 1973 127  5399 6823 4099 6367 4759 4831 293  6379 6637 6373 563  3557 5443 1523 3187 5419 3527 6311 6067 9103 8641 1579 9677 997  439  1699 6271 9643 8681 97   911  9199

6679 6907 617  5113 4871 9931 4219 2377 1117 8969 7963 5843 8369 9059 7219 3019 8867 2389 7481 5569 1019 2609 2969 1697 919  1289 3947 67   2339 5557 2791 4339 8461 2539 5923

2063 43   8737 5563 3943 2467 5011 3373 2657 2203 4441 6529 7507 6257 6869 2311 4783 6607 5347 2399 8819 4127 1423 9871 8513 5813 9689 1583 241  5749 3919 7457 1979 2903 1847

5531 5413 6037 8831 3517 4967 4159 5333 3299 3571 9749 3011 8311 283  5801 859  523  7351 4877 7867 4297 1439 1163 151  7727 9859 7237 1693 8467 599  5869 6389 2689 3733 2441

73   1483 5503 7027 8389 5209 1657 1721 4751 8669 3851 3049 449  3307 4447 6829 5021 7193 2797 3359 113  9187 7703 1879 1489 311  6343 7589 4423 7549 773  8447 4013 9511 8929

3331 9803 9491 2557 2861 491  1291 2179 5591 1871 9203 9661 5741 9403 4937 5273 5987 9343 1831 6269 431  317  6703 5737 823  5261 7673 83   461  3907 6983 4729 6571 269  5981

5417 4523 8231 3697 1753 7499 7937 6863 6481 101  3167 41   2843 1777 769  7873 347  1511 1487 4703 6151 6287 8161 6577 6217 2333 857  6361 4813 8893 9133 8779 5867 2293 3301

9029 6029 4657 8011 5297 1867 2459 71   1913 1907 1123 2017 1987 751  6221 929  13   2141 5431 4349 6841 1103 2917 4951 9377 8171 9209 9923 1999 2473 7639 8521 9227 5449 9041

3847 1109 6553 7919 2887 9337 6709 2531 4943 9829 677  5839 6619 7307 9421 3989 883  2371 1873 397  2633 6053 3673 6329 1381 3433 8663 5881 4001 8353 1277 1607 9011 3001 2707

5077 47   3323 9533 5167 7043 8237 4637 5581 601  4801 4789 541  2749 7331 2897 383  223  1361 2447 7741 6971 7243 5701 5501 5711 9839 2287 9601 733  1789 7001 1373 9781 5003

 

Стефано определил, что до порядка 500 есть ещё только три квадрата подобных приведённому квадрату 35-го порядка. Это квадраты порядков 215 (магическая константа 57689237), 225 (магическая константа 66684561) и 398 (магическая константа 408313130).

 

Магические квадраты этой серии смотрите на сайте Стефана:

 

http://digilander.libero.it/ice00/magic/prime/orderConstant.html

 

На момент написания данной статьи Стефано уже построил квадраты этой серии до порядка 50 включительно.

 

 

12 – 14 октября 2009 г.

г. Саратов

 

ЛИТЕРАТУРА

 

 

[1] Мартин Гарднер. Математические досуги. – М.: Мир, 1972

[2] Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. – С. – Петербург, 1995

[3] Ю. В. Чебраков. Теория магических матриц. Выпуск ТММ-1. – С. -Петербург, 2008. (электронная версия книги: http://chebrakov.narod.ru/ )

[4] Н. В. Макарова. Волшебный мир магических квадратов. http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

[5] Н. В. Макарова. Простые числа. Математическая новелла. http://www.natalimak1.narod.ru/prost.htm  или http://narod.ru/disk/10037356000/prost.pdf.html

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу